Решение: Расстояние от точки до стороны
В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$. Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$. Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD$, если $AD = 6$, $BC = 5$.
Решение по шагам
10 шаговВведём координаты: $B(0,0)$, $C(5,0)$, $A(0,h)$, $D(6,h)$, где $h>0$. Пусть $E(0,e)$.
Окружность касается прямой $AB$, то есть оси $y$, в точке $E$. Поэтому её центр имеет координаты $(r,e)$, а уравнение окружности имеет вид $(x-r)^2+(y-e)^2=r^2$.
Так как точка $C(5,0)$ принадлежит окружности, получаем:
$$(5-r)^2+e^2=r^2$$Так как точка $D(6,h)$ также принадлежит окружности, имеем:
$$(6-r)^2+(h-e)^2=r^2$$Из первого равенства $e^2=10r-25$. Подставляя это во второе равенство и упрощая, получаем:
$$5h^2-10eh+30-e^2=0$$Следовательно, выполняется равенство:
$$e^2+10eh=5h^2+30$$Уравнение прямой $CD$, проходящей через точки $C(5,0)$ и $D(6,h)$, имеет вид:
$$hx-y-5h=0$$Расстояние от точки $E(0,e)$ до прямой $CD$ равно:
$$d=\frac{|h\cdot0-e-5h|}{\sqrt{h^2+1}}=\frac{e+5h}{\sqrt{h^2+1}}$$Возведём выражение в квадрат и воспользуемся полученным равенством:
$$d^2=\frac{(e+5h)^2}{h^2+1}=\frac{e^2+10eh+25h^2}{h^2+1}=\frac{5h^2+30+25h^2}{h^2+1}=30$$Так как расстояние положительно, получаем:
$$d=\sqrt{30}$$Расстояние от точки $E$ до прямой $CD$ равно $\sqrt{30}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно задать координаты точек $C$ и $D$, перепутав длины оснований.
Использовать формулу расстояния до прямой с ошибкой в свободном члене.
Забыть извлечь положительный корень после вычисления квадрата расстояния.