Решение: Расстояние от точки до прямой
В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$. Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$. Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD$, если $AD = 14$, $BC = 7$.
Решение по шагам
8 шаговРасположим трапецию в координатной плоскости: $B=(0,0)$, $C=(7,0)$, $A=(0,h)$, $D=(14,h)$. Пусть $E=(0,e)$.
$$AD=14,\quad BC=7$$Так как окружность касается прямой $AB$ в точке $E$, её центр имеет координаты $(r,e)$, а радиус равен $r$. Поэтому уравнение окружности имеет вид:
$$x^2+y^2-2rx-2ey+e^2=0$$Точки $C=(7,0)$ и $D=(14,h)$ лежат на окружности. Подставляя координаты точки $C$, получаем:
$$49-14r+e^2=0$$Подставляя координаты точки $D$ и вычитая полученное равенство, имеем:
$$196-28r-2eh+e^2=0,\quad 2eh=98-e^2$$Уравнение прямой $CD$, проходящей через точки $(7,0)$ и $(14,h)$, имеет вид:
$$hx-7y-7h=0$$Расстояние от точки $E=(0,e)$ до прямой $CD$ равно:
$$d=\frac{|h\cdot0-7e-7h|}{\sqrt{h^2+49}}=\frac{7(e+h)}{\sqrt{h^2+49}}$$Из равенства $2eh=98-e^2$ выразим $h$ и упростим выражение для расстояния:
$$h=\frac{98-e^2}{2e},\quad e+h=\frac{98+e^2}{2e},\quad \sqrt{h^2+49}=\frac{98+e^2}{2e}$$Следовательно, расстояние не зависит от высоты трапеции и положения точки касания:
$$d=7\cdot\frac{(98+e^2)/(2e)}{(98+e^2)/(2e)}=7$$Расстояние от точки $E$ до прямой $CD$ равно $7$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно размещают точки $A$ и $D$ при построении координат.
Забывают, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен прямой $AB$.
Используют формулу расстояния от точки до прямой с ошибкой в знаках или коэффициентах.
Не учитывают условие принадлежности точек $C$ и $D$ одной окружности.