Решение: Площадь трапеции с биссектрисой
Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $24$ и $25$, а основание $BC$ равно $9$. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB$. Найдите площадь трапеции.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим через $M$ середину стороны $AB$. Пусть единичные векторы направлений $DA$ и $DC$ равны $\vec e$ и $\vec u$ соответственно. Так как $DC=25$, а $BC=9$ и $BC\parallel AD$, имеем $\overrightarrow{DB}=25\vec u+9\vec e$.
$$\overrightarrow{DM}=\frac{\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}}{2}=\frac{(AD+9)\vec e+25\vec u}{2}$$Поскольку $DM$ является биссектрисой угла между направлениями $\vec e$ и $\vec u$, коэффициенты при этих единичных векторах в разложении вектора $\overrightarrow{DM}$ равны.
$$AD+9=25$$Следовательно, длина второго основания равна:
$$AD=16$$Пусть $h$ — высота трапеции, а $x$ — проекция стороны $CD$ на направление основания $AD$. Тогда для сторон $CD$ и $AB$ получаем:
$$x^2+h^2=25^2,\quad (x+9-16)^2+h^2=24^2$$Вычитая второе равенство из первого, находим $x=7$. Поэтому:
$$h^2=25^2-7^2=576,\quad h=24$$Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженному на высоту:
$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{16+9}{2}\cdot24=300$$Площадь трапеции равна $300$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно считать $AB$ и $CD$ основаниями трапеции, хотя по условию они являются боковыми сторонами.
Забыть, что коэффициенты при единичными векторами направлений сторон угла векторе биссектрисы равны.
Использовать в формуле площади длину боковой стороны вместо высоты.