Решение: Площадь параллелограмма по расстояниям
В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC$. Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны $13$, $6$ и $5$. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$.
Решение по шагам
7 шаговРасположим $A$ в начале координат, а прямую $AC$ направим вдоль оси абсцисс. Так как расстояние от $O$ до $AC$ равно $5$, а $OA=13$, координаты точки $O$ можно взять в виде $O=(12,5)$.
Поскольку $AO$ — биссектриса угла $BAC$, имеем $\sin \angle OAC=\frac{5}{13}$ и $\cos \angle OAC=\frac{12}{13}$. Поэтому направление луча $AB$ задаётся вектором $\left(\frac{119}{169},\frac{120}{169}\right)$.
Пусть единичный направляющий вектор прямой $AD$, параллельной $BC$, имеет координаты $\left(\frac{\sqrt{133}}{13},-\frac{6}{13}\right)$. Условие расстояния от $O$ до $AD$ равно $6$ выполнено, поскольку $|[\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AO}]|=6$.
Так как $BC$ — сторона треугольника $ABC$, расстояние от $O$ до $BC$ равно радиусу вписанной окружности, то есть $5$. Из взаимного расположения прямых $AD$ и $BC$ уравнение прямой $BC$ можно записать как $[\vec u,\overrightarrow{AX}]=1$, где $\vec u=\left(\frac{\sqrt{133}}{13},-\frac{6}{13}\right)$.
Пересекая эту прямую с $AC$, получаем $C=\left(\frac{13}{6},0\right)$. Пересекая её с лучом $AB$, получаем высоту точки $B$ над прямой $AC$: $h_B=\frac{1560}{714+120\sqrt{133}}$.
Площадь параллелограмма в два раза больше площади треугольника $ABC$, поэтому $S_{ABCD}=AC\cdot h_B$.
Подставляя найденные значения, получаем:
S_{ABCD}=\frac{3380}{714+120\sqrt{133}}=\frac{1690}{357+60\sqrt{133}}\approx 2{,}44.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать расстояние от $O$ до прямой $AD$ с радиусом вписанной окружности.
Забывать, что $AD\parallel BC$.
Использовать площадь треугольника $ABC$ вместо площади параллелограмма.
Не учитывать, что $AO$ является биссектрисой угла $BAC$.