Решение: Площадь трапеции по биссектрисе
Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $20$ и $29$, а основание $BC$ равно $4$. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB$. Найдите площадь трапеции.
Решение по шагам
7 шаговПусть $AD$ и $BC$ — основания трапеции, $BC=4$, $AB=20$, $CD=29$, а $h$ — её высота. Опустим из $C$ перпендикуляр на прямую $AD$. Обозначим горизонтальную проекцию стороны $CD$ через $x$.
$$x^2+h^2=29^2$$Разместим трапецию в координатах так, чтобы основание $AD$ лежало на горизонтальной оси. Тогда горизонтальная проекция стороны $AB$ равна $x-AD+BC=x+4-AD$.
Пусть $M$ — середина стороны $AB$. Так как $M$ лежит на биссектрисе угла $ADC$, его расстояния до сторон $AD$ и $DC$ равны. Из координатного условия для биссектрисы получается $AD+BC=CD$.
Следовательно, второе основание равно $AD=29-4=25$.
Для боковых сторон используем теорему Пифагора. Разность квадратов длин боковых сторон равна разности квадратов их горизонтальных проекций:
$$29^2-20^2=x^2-(x-21)^2$$После упрощения получаем $x=21$. Тогда из равенства для стороны $CD$ найдём высоту:
$$h^2=29^2-21^2=841-441=400,\quad h=20$$Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{25+4}{2}\cdot20=290$$Площадь трапеции равна $290$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать основания трапеции с боковыми сторонами.
Использовать длину боковой стороны $CD=29$ вместо длины второго основания.
Забывать, что площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.
Не обосновывать, как из условия о биссектрисе получается сумма оснований.