Площадь параллелограмма
Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь параллелограмма, если $BC = 2$, а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно 8.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке . Найдите площадь параллелограмма, если , а расстояние от точки до стороны равно 8. | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Обозначьте половину угла $A$ через $\alpha$ и рассмотрите прямоугольные треугольники, образованные биссектрисами и перпендикуляром из точки $K$ к стороне $AB$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Пусть $H$ — основание перпендикуляра из $K$ на $AB$. Используйте $KH = 8$, $BC = AD = 2$ и свойства синусов и косинусов углов $\alpha$ и $2\alpha$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Если $AB = b$, то из пересечения биссектрис получается $b = 8\left(\cot\alpha + \tan\alpha\right) = \dfrac{16}{\sin 2\alpha}$. Высота параллелограмма равна $2\sin 2\alpha$, поэтому его площадь равна $32$.