Решение: Площадь параллелограмма по биссектрисам
Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь параллелограмма, если $BC = 19$, а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно 10.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим $AB=b$, а угол между сторонами $AB$ и $AD$ — через $\alpha$. Тогда высота параллелограмма, проведённая к стороне $AB$, равна $b\sin\alpha$.
Рассмотрим пересечение биссектрис углов $A$ и $B$. Направление биссектрисы угла $A$ задаётся суммой единичных направляющих векторов вдоль $AB$ и $AD$, а направление биссектрисы угла $B$ — суммой единичных направляющих векторов вдоль $BA$ и $BC$.
Из равенства координат точки пересечения этих двух биссектрис следует, что её расстояние до стороны $AB$ равно половине высоты параллелограмма.
По условию расстояние от $K$ до $AB$ равно 10, поэтому высота параллелограмма равна $20$.
Площадь параллелограмма равна произведению стороны $BC$ на высоту, опущенную на эту сторону. Высота к стороне $BC$ также связана с полученным выражением, и произведение $AB\sin\alpha$ равно $20$.
Следовательно, площадь равна произведению $BC$ на величину $AB\sin\alpha$.
S = 19 \cdot 20 = 380
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно всей высоте параллелограмма, а не её половине.
Использовать в формуле площади сторону $AB$ вместо основания $BC$ без соответствующего изменения высоты.
Не обосновать, почему точка пересечения биссектрис находится на половине высоты.