Решение: Расстояние от точки до основания
В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$. Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$. Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD$, если $AD = 8$, $BC = 4$.
Решение по шагам
7 шаговВведём координаты точек: $B=(0,0)$, $C=(4,0)$, $A=(0,h)$, $D=(8,h)$, $E=(0,e)$. Пусть центр окружности имеет координаты $(r,e)$. Так как окружность касается прямой $AB$ в точке $E$, её радиус равен $r$.
Точка $C$ принадлежит окружности, поэтому
$$(4-r)^2+e^2=r^2$$Точка $D$ также принадлежит окружности:
$$(8-r)^2+(h-e)^2=r^2$$Из первого равенства получаем $e^2=8r-16$. Вычитая первое равенство из второго, получаем
$$h^2-2he-e^2+32=0$$Из последнего равенства следует
$$(h+e)^2=h^2+2he+e^2=2h^2+32=2(h^2+16)$$Уравнение прямой $CD$, проходящей через точки $C=(4,0)$ и $D=(8,h)$, имеет вид $hx-4y-4h=0$.
Расстояние от точки $E=(0,e)$ до прямой $CD$ равно
$$d=\frac{|h\cdot0-4e-4h|}{\sqrt{h^2+16}}=\frac{4|h+e|}{\sqrt{h^2+16}}=\frac{4\sqrt{2(h^2+16)}}{\sqrt{h^2+16}}=4\sqrt{2}$$Расстояние от точки $E$ до прямой $CD$ равно $4\sqrt{2}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно задать координаты точек $C$ и $D$, перепутав основания трапеции.
Забыть, что радиус окружности перпендикулярен касательной $AB$.
Использовать формулу расстояния до прямой без модуля в числителе.
Не доказать равенство $(h+e)^2=2(h^2+16)$.