Радиус окружности и касательная
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $18$ и $40$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Точки и лежат на стороне треугольника на расстояниях соответственно 18 и 40 от вершины . Найдите радиус окружности, проходящей через точки и и касающейся луча , если . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Разместите точку $A$ в начале координат, а сторону $AC$ — на оси $Ox$. Где окажутся точки $M$ и $N$?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Центр окружности, проходящей через $M(18;0)$ и $N(40;0)$, лежит на перпендикулярном биссекторе отрезка $MN$. Используйте расстояние от центра до прямой $AB$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Пусть центр окружности имеет координаты $(29;k)$. Тогда $\sin \angle BAC=\dfrac{2}{3}$, а расстояние от центра до прямой $AB$ приравнивается к радиусу $\sqrt{121+k^2}$. После решения квадратного уравнения выберите корень, для которого точка касания лежит на луче $AB$.