Решение: Перпендикуляр к радиусу
В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 18$, $AC = 36$, точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Найдите $CD$.
Решение по шагам
5 шаговОбозначим радиус описанной окружности через $R$. В треугольнике $AOB$ имеем $OA = OB = R$, поэтому его основания углы равны. Проекция отрезка $AB$ на прямую $AO$ равна $AB\cos\angle BAO$. Из равнобедренного треугольника $AOB$ следует $AB = 2R\cos\angle BAO$.
$$AB = 2R\cos\angle BAO$$Аналогично для треугольника $AOC$: $AC = 2R\cos\angle CAO$. Следовательно, $\cos\angle CAO = \dfrac{AC}{AB}\cos\angle BAO = 2\cos\angle BAO$.
$$\cos\angle CAO = 2\cos\angle BAO$$Поскольку $BD \perp AO$, точки $B$ и $D$ имеют одинаковые проекции на прямую $AO$. Поэтому $AB\cos\angle BAO = AD\cos\angle CAO$.
$$18\cos\angle BAO = AD\cos\angle CAO$$Подставим найденное соотношение между косинусами углов: $18\cos\angle BAO = AD\cdot 2\cos\angle BAO$. Так как $\cos\angle BAO \ne 0$, получаем $AD = 9$.
$$AD = \frac{18}{2} = 9$$Точка $D$ лежит на стороне $AC$, поэтому $CD = AC - AD = 36 - 9 = 27$.
$$CD = 36 - 9 = 27$$27
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать проекцию отрезка с его длиной.
Использовать неверное соотношение между косинусами углов при $A$.
Вычислить $AD = 9$, но не найти $CD = AC - AD$.