Решение: Радиус окружности в трапеции
В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно $48$ и $24$, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD$, если $AB=13$.
Решение по шагам
6 шаговПусть $E$ и $F$ — основания высот из точек $B$ и $C$ на прямую $AD$. Обозначим $AE=x$, тогда $DF=24-x$, поскольку $AD-BC=48-24=24$. Высоту трапеции обозначим через $h$.
$$AB^2=x^2+h^2=169$$Тангенсы углов при основании $AD$ равны $\dfrac{h}{x}$ и $\dfrac{h}{24-x}$. Так как сумма этих углов равна $90^\circ$, произведение тангенсов равно единице.
$$\frac{h}{x}\cdot\frac{h}{24-x}=1\quad\Rightarrow\quad h^2=x(24-x)$$Подставим это равенство в теорему Пифагора для треугольника $ABE$.
$$169=x^2+h^2=x^2+x(24-x)=24x$$Следовательно, $x=\dfrac{169}{24}$, а $h^2=x(24-x)$. Кроме того, длина боковой стороны $CD$ равна высоте гипотенузы с горизонтальной проекцией $24-x$, поэтому
$$CD^2=(24-x)^2+h^2=(24-x)\bigl((24-x)+x\bigr)=24(24-x)=407$$Рассмотрим центр $O$ искомой окружности. Так как окружность проходит через $A$ и $B$, центр лежит на серединном перпендикуляре к $AB$. При перемещении центра по этому перпендикуляру величина его ориентированного расстояния до прямой $CD$ не изменяется: это расстояние равно расстоянию от середины отрезка $AB$ до прямой $CD$.
$$d=\frac{36h}{CD}$$Из найденных значений $h=\dfrac{13\sqrt{407}}{24}$ и $CD=\sqrt{407}$ получаем радиус окружности, поскольку окружность касается прямой $CD$.
$$R=d=\frac{36\cdot\frac{13\sqrt{407}}{24}}{\sqrt{407}}=\frac{36\cdot13}{24}=\frac{39}{2}$$Радиус окружности равен $\dfrac{39}{2}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно использовать условие о сумме углов при основании и считать, что углы равны.
Забыть, что разность оснований равна сумме горизонтальных проекций боковых сторон: $48-24=24$.
Приравнять радиус к расстоянию от точки $A$ до прямой $CD$, хотя расстояние нужно измерять от центра окружности.