Решение: Радиус описанной окружности
Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 11$ и $CD = 41$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$, причём $\angle AKB = 60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Решение по шагам
7 шаговПо теореме об угле, образованном двумя пересекающимися хордами, угол $AKB$ равен половине суммы дуг $AB$ и $CD$. Поэтому сумма соответствующих центральных углов равна $120^\circ$.
Обозначим через $2u$ центральный угол, соответствующий хорде $AB$. Тогда для хорды $CD$ соответствующий центральный угол равен $120^\circ-2u$, а его половина равна $60^\circ-u$.
Применим формулу длины хорды: $l=2R\sin\dfrac{\alpha}{2}$. Для данных хорд получаем:
$$2R\sin u=11,\qquad 2R\sin(60^\circ-u)=41$$Раскроем синус разности и учтём первое равенство:
$$2R\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos u-\frac12\sin u\right)=41,\qquad \sqrt3R\cos u-\frac{11}{2}=41$$Следовательно, $\sqrt3R\cos u=\dfrac{93}{2}$. Возведём это равенство в квадрат и используем $\sin u=\dfrac{11}{2R}$:
$$3R^2\cos^2u=\frac{8649}{4},\qquad 3R^2\left(1-\frac{121}{4R^2}\right)=\frac{8649}{4}$$После упрощения получаем:
$$12R^2-363=8649,\qquad 12R^2=9012,\qquad R^2=751$$Радиус положителен, поэтому $R=\sqrt{751}$.
$\sqrt{751}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют разность дуг вместо суммы дуг при применении теоремы о пересекающихся хордах.
Забывают, что длина хорды выражается формулой $l=2R\sin\dfrac{\alpha}{2}$.
Теряют множитель $2$ при переходе от центрального угла к половине дуги.