Стороны треугольника по медиане
В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную $20$. Найдите стороны треугольника $ABC$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Введя координаты с началом в точке пересечения медианы и биссектрисы, выразите координаты вершин через длину одного из отрезков.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Используйте теорему о биссектрисе: $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AB}{BC}$, а также тот факт, что $D$ — середина $BC$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
После введения $x=\dfrac{AO}{20}$ получается уравнение $x^4+x^3+x^2+x-2=0$. Его положительный корень позволяет найти стороны: $AB=20\sqrt{x^2+\left(\dfrac{x+2}{x+1}\right)^2}$, $BC=40\sqrt{(x+1)^2+\left(\dfrac{x+2}{x+1}\right)^2}$, $AC=40(x+1)$.