Решение: Стороны треугольника по медиане
В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную $20$. Найдите стороны треугольника $ABC$.
Решение по шагам
8 шаговПусть $O$ — точка пересечения перпендикулярных отрезков $AD$ и $BE$. Выберем координаты: $O=(0,0)$, $AD$ — ось абсцисс, $BE$ — ось ординат. Обозначим $AO=20x$, где $x>0$.
$$A=(20x,0),\quad D=(20x+20,0)$$Так как $D$ — середина $BC$, из координат точки $B=(0,20y)$ получаем $C=(40x+40,-20y)$.
Точка $E$ лежит на $AC$, а $BE=20$. Из условия коллинеарности точек $A,E,C$ и равенства $BE=20$ следует $y=\dfrac{x+2}{x+1}$.
По теореме о биссектрисе $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AB}{BC}$. Координатное выражение левой части равно $x$, поэтому после подстановки длин $AB$ и $BC$ получаем:
$$x^4+x^3+x^2+x-2=0$$Уравнение имеет единственный положительный корень $x\approx0{,}741$. Тогда $y=\dfrac{x+2}{x+1}\approx1{,}575$.
Вычислим стороны треугольника:
$$AB=20\sqrt{x^2+y^2}\approx34{,}8$$Для второй стороны имеем:
$$BC=40\sqrt{(x+1)^2+y^2}\approx94{,}3$$Третья сторона находится непосредственно по координатам точек $A$ и $C$:
$$AC=40(x+1)\approx69{,}6$$Стороны треугольника: $AB\approx34{,}8$, $AC\approx69{,}6$, $BC\approx94{,}3$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путают медиану $AD$ с высотой и считают треугольник прямоугольным.
Неверно применяют теорему о биссектрисе, заменяя отношение отрезков $AE:EC$ отношением $AB:AC$.
Забывают, что точка $D$ является серединой стороны $BC$.