Решение: Окружность, касающаяся луча
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $8$ и $30$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$.
Решение по шагам
6 шаговВведём координаты: $A=(0,0)$, ось $Ox$ направим вдоль $AC$. Тогда $M=(8,0)$ и $N=(30,0)$. Середина отрезка $MN$ имеет координаты $(19,0)$, поэтому центр окружности имеет вид $O=(19,k)$.
$$R^2=(19-8)^2+k^2=121+k^2$$Так как $\cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$, то $\sin\angle BAC=\dfrac{1}{4}$. Направляющий единичный вектор луча $AB$ можно взять равным $\left(\dfrac{\sqrt{15}}{4},\dfrac14\right)$.
Расстояние от точки $O=(19,k)$ до прямой $AB$ равно $\left|19\cdot\dfrac14-k\cdot\dfrac{\sqrt{15}}4\right|$. Для касания это расстояние должно быть равно радиусу.
$$\left(\frac{19-k\sqrt{15}}{4}\right)^2=121+k^2$$После преобразования получаем квадратное уравнение относительно $k$.
$$k^2+38\sqrt{15}\,k+1575=0$$Корни уравнения: $k=-3\sqrt{15}$ и $k=-35\sqrt{15}$. Для первого значения проекция центра на луч $AB$ имеет положительную координату, поэтому точка касания лежит на луче. При $k=-35\sqrt{15}$ точка касания лежит на продолжении луча в противоположную сторону.
Для подходящего значения $k=-3\sqrt{15}$ радиус равен:
$$R=\sqrt{121+(-3\sqrt{15})^2}=\sqrt{121+135}=\sqrt{256}=16$$Радиус окружности равен $16$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Использовать только условие касания к прямой $AB$ и не проверить, что точка касания лежит именно на луче $AB$.
Ошибиться в вычислении синуса угла: из $\cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt{15}}4$ следует $\sin\angle BAC=\dfrac14$.
Взять оба корня квадратного уравнения, не учитывая расположение точки касания.