Ответ: Окружность, касающаяся луча
Радиус окружности равен $16$.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $8$ и $30$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$.
Где здесь ошибаются
Использовать только условие касания к прямой $AB$ и не проверить, что точка касания лежит именно на луче $AB$.
Ошибиться в вычислении синуса угла: из $\cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt{15}}4$ следует $\sin\angle BAC=\dfrac14$.
Взять оба корня квадратного уравнения, не учитывая расположение точки касания.