Решение: Площадь параллелограмма по окружности
В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC$. Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны $13$, $9$ и $5$. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$.
Решение по шагам
10 шаговРасстояние от центра вписанной окружности до стороны $AC$ равно радиусу окружности, поэтому $r=5$.
Прямые $AD$ и $BC$ параллельны. Точка $O$ находится между ними, поэтому расстояние между этими прямыми, то есть высота параллелограмма к основанию $BC$, равно
$$h=9+5=14$$Так как $A$ лежит на прямой $AD$, расстояние от вершины $A$ до прямой $BC$ также равно $14$. Следовательно, высота треугольника $ABC$, проведённая к стороне $BC$, равна $14$.
Пусть $p$ — полупериметр треугольника $ABC$. Его площадь через радиус вписанной окружности равна
$$S_{ABC}=rp=5p$$Обозначим через $T$ основание перпендикуляра из точки $O$ на $AC$. В прямоугольном треугольнике $AOT$ имеем $AO=13$ и $OT=5$, поэтому
$$AT=\sqrt{AO^2-OT^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$$Точка $T$ является точкой касания вписанной окружности со стороной $AC$. Поэтому длина касательных от вершины $A$ к окружности равна $12$. В стандартных обозначениях касательных от вершин треугольника это означает, что $p-BC=12$, то есть
$$BC=p-12$$С другой стороны, площадь треугольника через основание $BC$ и высоту $14$ равна
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot14=7BC$$Приравниваем два выражения для площади и подставляем $BC=p-12$:
$$5p=7BC=7(p-12)$$Отсюда $2p=84$, поэтому $p=42$, а
$$BC=p-12=30$$Площадь параллелограмма равна произведению основания $BC$ на высоту $14$:
$$S_{ABCD}=BC\cdot14=30\cdot14=420$$Площадь параллелограмма равна $420$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать расстояние между прямыми $AD$ и $BC$ равным $9$, не добавляя расстояние от точки $O$ до прямой $BC$, равное радиусу $5$.
Использовать $AO=13$ как длину касательной от вершины $A$.
Забыть, что площадь параллелограмма в два раза больше площади треугольника $ABC$ при общей диагонали $AC$.
Не обосновать равенство касательных от одной вершины к вписанной окружности.