Решение: Радиус окружности в трапеции
В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно $36$ и $12$, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD$, если $AB=13$.
Решение по шагам
7 шаговПусть $BH=CK=h$ — высота трапеции, а $AH=x$. Тогда $KD=24-x$, так как разность оснований равна $36-12=24$.
$$AD-BC=36-12=24$$Пусть углы при основании $AD$ равны $\alpha$ и $\beta$. Так как $\alpha+\beta=90^\circ$, то $\tan\beta=\cot\alpha$. Следовательно, $\dfrac{h}{24-x}=\dfrac{x}{h}$.
$$h^2=x(24-x)$$Из прямоугольного треугольника $ABH$ получаем второе уравнение.
$$x^2+h^2=AB^2=13^2=169$$Подставляя выражение для $h^2$, находим горизонтальную проекцию стороны $AB$.
$$x^2+x(24-x)=169,\quad 24x=169,\quad x=\dfrac{169}{24}$$Введём координаты: $A=(0,0)$, $D=(36,0)$, $B=(x,h)$, $C=(x+12,h)$. Уравнение прямой $CD$ можно записать в виде $hX+(24-x)Y-36h=0$.
Пусть центр окружности имеет координаты $O=(u,v)$, а её радиус равен $R$. Так как окружность проходит через $A$ и $B$, из равенства расстояний до этих точек получаем $ux+vh=\dfrac{169}{2}$. С учётом $x=\dfrac{169}{24}$ это даёт соотношение, при котором выражение $hu+(24-x)v$ равно $\dfrac{169}{2x}h=12h$.
Расстояние от центра окружности до прямой $CD$ равно радиусу. После подстановки найденного соотношения и использования $h^2=x(24-x)$ получаем:
$$R=\frac{24h}{\sqrt{24(24-x)}}=\sqrt{24x}=\sqrt{24\cdot\frac{169}{24}}=13$$Радиус окружности равен $13$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать, что трапеция обязательно равнобедренная.
Неверно использовать условие о сумме углов при основании.
Забыть, что радиус окружности равен расстоянию от её центра до касательной прямой.
Использовать разность оснований $12-36$ вместо длины горизонтального промежутка $36-12=24$.