Решение: Радиус окружности трапеции
В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно $28$ и $4$, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD$, если $AB=15$.
Решение по шагам
7 шаговВведём координаты: $A=(0,0)$, $D=(28,0)$, $B=(x,h)$, $C=(x+4,h)$. Тогда горизонтальная проекция стороны $CD$ равна $24-x$.
$$AB^2=x^2+h^2=225$$Так как сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$, соответствующие тангенсы являются взаимно обратными.
$$\frac{h}{x}\cdot\frac{h}{24-x}=1$$Получаем систему для $x$ и $h$.
$$h^2=x(24-x),\qquad x^2+h^2=225$$Подставляя первое равенство во второе, находим координату $x$ и высоту трапеции.
$$x^2+x(24-x)=225\Rightarrow 24x=225\Rightarrow x=\frac{75}{8},\qquad h=\frac{15\sqrt{39}}{8}$$Уравнение любой окружности, проходящей через $A=(0,0)$, имеет вид $X^2+Y^2+uX+vY=0$. Так как окружность проходит через $B$, получаем связь между $u$ и $v$.
$$225+\frac{75}{8}u+\frac{15\sqrt{39}}{8}v=0\Rightarrow 5u+\sqrt{39}v=-120$$Параметрическое уравнение прямой $CD$: $X=28-\frac{117}{8}t$, $Y=ht$. После подстановки в уравнение окружности условие касания означает, что полученное квадратное уравнение по $t$ имеет единственный корень.
$$(2u+87)^2=273(u+28)\Rightarrow 4u^2+75u-75=0$$Радиус окружности равен половине длины вектора её центра $\left(-\frac{u}{2},-\frac{v}{2}\right)$.
$$R^2=\frac{u^2+v^2}{4}=\frac{u^2+\frac{(120+5u)^2}{39}}{4}=100$$Радиус окружности равен $10$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно использовать условие о сумме углов при основании и считать углы равными.
Забыть, что основания трапеции параллельны, поэтому горизонтальная разность проекций равна $28-4=24$.
Использовать условие пересечения прямой и окружности вместо условия касания: при касании дискриминант должен быть равен нулю.
Не извлечь квадратный корень из найденного значения $R^2$.