Решение: Радиус окружности, касающейся луча
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $16$ и $39$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{39}}{8}$.
Решение по шагам
8 шаговРасположим начало координат в точке $A$, а сторону $AC$ направим вдоль положительной полуоси $Ox$. Тогда $M=(16,0)$ и $N=(39,0)$.
Общее уравнение окружности имеет вид $x^2+y^2+ux+vy+w=0$. Так как она проходит через $M$ и $N$, подстановка координат этих точек даёт $u=-55$ и $w=624$.
$$x^2+y^2-55x+Dy+624=0$$Центр окружности имеет координаты $O=\left(\dfrac{55}{2},-\dfrac D2\right)$, поэтому её радиус удовлетворяет равенству
$$R^2=\left(\dfrac{55}{2}\right)^2+\left(\dfrac D2\right)^2-624=\dfrac{D^2+529}{4}$$Обозначим $\alpha=\angle BAC$. Из условия $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{39}}8$, поэтому для острого угла $\alpha$ имеем $\sin\alpha=\dfrac58$. Уравнение прямой $AB$ можно записать в виде $\sin\alpha\,x-\cos\alpha\,y=0$.
$$\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{39}{64}}=\frac58$$Расстояние от центра окружности до прямой $AB$ равно радиусу. Следовательно, после возведения в квадрат получаем
$$\left(55\sin\alpha+D\cos\alpha\right)^2=D^2+529$$Подставим значения синуса и косинуса и упростим уравнение.
$$25D^2-550\sqrt{39}D+41769=0$$Корни этого уравнения равны $D=\dfrac{\sqrt{39}}{65}\left(715\pm\sqrt{330226}\right)$. Корень со знаком «плюс» соответствует касанию продолжения прямой $AB$, а не луча $AB$. Поэтому берём корень со знаком «минус».
$$D=\frac{\sqrt{39}}{65}\left(715-\sqrt{330226}\right)$$Подставляя найденное значение в формулу радиуса, получаем искомый радиус.
$$R=\frac12\sqrt{529+\frac{39}{4225}\left(715-\sqrt{330226}\right)^2}\approx 13{,}34$$Радиус окружности равен $\displaystyle \frac12\sqrt{529+\frac{39}{4225}\left(715-\sqrt{330226}\right)^2}\approx 13{,}34$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют оба корня квадратного уравнения, не проверяя, что точка касания лежит именно на луче $AB$.
Ошибочно принимают расстояния от вершины $A$ до точек $M$ и $N$ за длины отрезков $AM$ и $MN$ одновременно.
Забывают возвести в квадрат координатную формулу расстояния от центра окружности до прямой.