Ответ: Радиус окружности, касающейся луча
Радиус окружности равен $\displaystyle \frac12\sqrt{529+\frac{39}{4225}\left(715-\sqrt{330226}\right)^2}\approx 13{,}34$.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $16$ и $39$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{39}}{8}$.
Где здесь ошибаются
Используют оба корня квадратного уравнения, не проверяя, что точка касания лежит именно на луче $AB$.
Ошибочно принимают расстояния от вершины $A$ до точек $M$ и $N$ за длины отрезков $AM$ и $MN$ одновременно.
Забывают возвести в квадрат координатную формулу расстояния от центра окружности до прямой.