Длина хорды в треугольнике
Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$. Найдите длину отрезка $KP$, если $AP = 21$, а сторона $BC$ в $1{,}5$ раза меньше стороны $AB$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Окружность пересекает стороны и треугольника в точках | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Используйте теорему о секущих, проведённых из точки $A$ к окружности.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Из цикличности четырёхугольника $BKPC$ следуют подобие треугольников $AKP$ и $ABC$ и равенство $\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{KP}{BC}$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
По теореме о секущих $AK\cdot AB=AP\cdot AC$. С учётом подобия получаем $AB=AC$, а затем $KP=AP\cdot\dfrac{BC}{AB}=21\cdot\dfrac{2}{3}$.