Решение: Радиус окружности в трапеции
В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно $33$ и $11$, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD$, если $AB = 20$.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим через $h$ высоту трапеции, а через $x$ — горизонтальную проекцию стороны $AB$ на основание $AD$. Тогда из $AB=20$ получаем:
$$x^2+h^2=400$$Горизонтальная проекция стороны $CD$ равна $22-x$, так как разность оснований равна $33-11=22$. Из условия о сумме углов при основании $AD$ следует:
$$\frac{h}{x}\cdot\frac{h}{22-x}=1$$Следовательно, $h^2=x(22-x)$. Подставляя это в равенство $x^2+h^2=400$, получаем:
$$x^2+x(22-x)=400,\quad 22x=400$$Имеем $x=\frac{200}{11}$ и $h=\frac{20\sqrt{21}}{11}$. Векторы, задающие направления $AB$ и $CD$, имеют скалярное произведение, равное нулю, поэтому $AB\perp CD$.
Расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ равно высоте трапеции в направлении, перпендикулярном $CD$. Из найденных проекций получается, что проекция точки $B$ на нормаль к $CD$ находится на расстоянии $20$ от точки $A$, а прямая $CD$ — на расстоянии $30$ от точки $A$.
Центр окружности, проходящей через $A$ и $B$, лежит на серединном перпендикуляре к $AB$. Поэтому его расстояние до линии $AB$ равно $10$. Поскольку окружность касается $CD$, расстояние от её центра до $CD$ равно радиусу. Разность расстояний до параллельных линий равна $30-10=20$.
Радиус окружности равен $20$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Принимать сумму углов при основании за сумму противоположных углов.
Не учитывать, что центр окружности через $A$ и $B$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$.
Искать расстояние от центра до $CD$ как расстояние между основаниями трапеции, не доказав перпендикулярность $AB$ и $CD$.