Решение: Высота и ортоцентр треугольника
На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M$, $AD = 15$, $MD = 12$. $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Найдите $AH$.
Решение по шагам
5 шаговВведём систему координат: $D=(0,0)$, $A=(0,15)$, а прямая $BC$ совпадает с осью абсцисс. Так как $MD=12$ и точка $M$ лежит между $A$ и $D$, имеем $M=(0,3)$.
$$AM=AD-MD=15-12=3$$Пусть центр окружности, построенной на диаметре $BC$, имеет координаты $(q,0)$, а её радиус равен $R$. Тогда точки $B$ и $C$ можно записать как $B=(q-R,0)$ и $C=(q+R,0)$.
Поскольку точка $M=(0,3)$ лежит на окружности, по формуле расстояния от центра до точки окружности получаем:
$$q^2+3^2=R^2,\qquad R^2-q^2=9$$Найдём ординату точки $H$. Угловой коэффициент прямой $AC$ равен $-\dfrac{15}{q+R}$, поэтому угловой коэффициент высоты, проведённой из точки $B$, равен $\dfrac{q+R}{15}$. При пересечении этой высоты с осью $AD$ получаем:
$$y_H=\frac{q+R}{15}\bigl(0-(q-R)\bigr)=\frac{R^2-q^2}{15}=\frac{9}{15}=\frac35$$Точка $H$ лежит на высоте $AD$, поэтому:
$$AH=AD-DH=15- rac35= rac{72}{5}$$$\dfrac{72}{5}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путают координату точки $M$: $AM=3$, поэтому при начале координат в точке $D$ точка имеет координату $y=3$.
Используют радиус окружности как расстояние от её центра до точки $M$ без учёта горизонтальной координаты центра.
Находят расстояние $DH$ вместо искомого $AH$.