Высота и ортоцентр треугольника
На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M$, $AD = 15$, $MD = 12$. $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Найдите $AH$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| На стороне остроугольного треугольника как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту в точке , , , | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Введи координаты так, чтобы $BC$ была осью абсцисс, а высота $AD$ — осью ординат. Как связаны координаты точки $M$ с радиусом полуокружности и координатой её центра?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Пусть центр окружности имеет координаты $(q,0)$, радиус равен $R$. Так как $M=(0,3)$ лежит на окружности, то $q^2+3^2=R^2$, то есть $R^2-q^2=9$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Если $B=(q-R,0)$ и $C=(q+R,0)$, то из перпендикулярности высоты из $B$ стороне $AC$ получаем $y_H=\dfrac{R^2-q^2}{15}=\dfrac{9}{15}$. Поэтому $AH=15-\dfrac35$.