Решение: Радиус описанной окружности
Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 44$ и $CD = 8$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$, причём $\angle AKB = 60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Решение по шагам
8 шаговОбозначим через $2x$ и $2y$ величины меньших дуг $AB$ и $CD$ соответственно. По теореме об угле, образованном пересекающимися хордами,
$$\angle AKB=\frac{1}{2}(2x+2y)=x+y$$Так как $\angle AKB=60^\circ$, получаем:
$$x+y=60^\circ$$Длина хорды, стягивающей центральный угол $2x$, равна $2R\sin x$. Поэтому для хорд $AB$ и $CD$ имеем:
$$2R\sin x=44,\qquad 2R\sin y=8$$Разделим первое равенство на второе:
$$\frac{\sin x}{\sin y}=\frac{44}{8}=\frac{11}{2},\qquad \sin x=\frac{11}{2}\sin y$$Поскольку $x=60^\circ-y$, применим формулу синуса разности:
$$\sin(60^\circ-y)=\frac{\sqrt3}{2}\cos y-\frac12\sin y=\frac{11}{2}\sin y$$После умножения на $2$ получаем:
$$\sqrt3\cos y=12\sin y,\qquad \tan y=\frac{\sqrt3}{12}$$Из значения тангенса находим синус:
$$\sin y=\frac{\sqrt3}{\sqrt{3+144}}=\frac{1}{\sqrt{49}}=\frac17$$Подставим это значение во второе равенство для хорды $CD$:
$$2R\cdot\frac17=8$$R=28
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют разность дуг вместо суммы дуг при применении теоремы об угле между пересекающимися хордами.
Забывают, что центральный угол, соответствующий хорде, равен $2y$, а в формуле длины хорды используется $\sin y$.
Неправильно применяют формулу синуса разности при преобразовании $\sin(60^\circ-y)$.