Решение: Радиус описанной окружности
Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 12$ и $CD = 30$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$, причём $\angle AKB = 60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Решение по шагам
7 шаговПусть $\alpha$ и $\beta$ — центральные углы, опирающиеся соответственно на хорды $AB$ и $CD$. По теореме об угле, образованном двумя пересекающимися хордами,
$$\angle AKB = \frac{\alpha + \beta}{2}$$Так как $\angle AKB = 60^\circ$, получаем
$$\alpha + \beta = 120^\circ$$Обозначим $x = \frac{\alpha}{2}$. Тогда $\frac{\beta}{2} = 60^\circ - x$. Формула длины хорды даёт
$$12 = 2R\sin x, \qquad 30 = 2R\sin(60^\circ - x)$$Разделим второе равенство на первое:
$$\frac{\sin(60^\circ - x)}{\sin x} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$$Раскроем синус разности и преобразуем уравнение:
$$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x}{\sin x} = \frac{5}{2}, \qquad \sqrt{3}\cos x = 6\sin x$$Следовательно, $\tan x = \frac{\sqrt{3}}{6}$, поэтому $\sin x = \frac{1}{\sqrt{13}}$.
$$\sin x = \frac{1}{\sqrt{13}}$$Подставим значение синуса в формулу для хорды $AB$:
$$12 = 2R\cdot\frac{1}{\sqrt{13}}, \qquad R = 6\sqrt{13}$$$6\sqrt{13}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют разность дуг вместо суммы дуг при вычислении угла между пересекающимися хордами.
Забывают, что длина хорды равна $2R\sin\frac{\alpha}{2}$.
Подставляют в формулу угол $\alpha$, а не его половину.