Окружность и луч в треугольнике
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $9$ и $35$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{35}}{6}$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Точки и лежат на стороне треугольника на расстояниях соответственно 9 и 35 от вершины . Найдите радиус окружности, проходящей через точки и и касающейся луча , если . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Как расположена середина отрезка $MN$ относительно центра окружности, проходящей через $M$ и $N$?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Введём координаты: $A=(0,0)$, $AC$ — ось $Ox$. Тогда $M=(9,0)$, $N=(35,0)$, а центр окружности имеет вид $(22;k)$. Используйте условие касания к лучу $AB$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Расстояние от центра $(22;k)$ до прямой $AB$ равно радиусу: $\left|22\sin\angle BAC-k\cos\angle BAC\right|=\sqrt{169+k^2}$. После решения квадратного уравнения проверьте, какая точка касания лежит именно на луче $AB$.