Решение: Расстояние от вершины до ортоцентра
На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M$. Известно, что $AD = 49$, $MD = 42$. Точка $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Найдите $AH$.
Решение по шагам
5 шаговРасположим начало координат в точке $D$, ось $Ox$ направим вдоль $BC$, а ось $Oy$ — вдоль $DA$. Тогда $A=(0,49)$, а точка $M=(0,42)$, поскольку $MD=42$.
Пусть $B=(u,0)$, $C=(v,0)$. Уравнение окружности, построенной на отрезке $BC$ как на диаметре, имеет вид $x^2+y^2-(u+v)x+uv=0$.
Так как точка $M=(0,42)$ принадлежит этой окружности, получаем $42^2+uv=0$, откуда $uv=-1764$.
Высота из вершины $B$ перпендикулярна стороне $AC$. Угловой коэффициент прямой $AC$ равен $-49/v$, поэтому угловой коэффициент высоты из $B$ равен $v/49$. При $x=0$, то есть на высоте $AD$, эта высота пересекает её в точке с координатой $y=-uv/49$.
Следовательно, ортоцентр имеет координату $y_H=-uv/49=1764/49=36$. Поэтому $DH=36$, а $AH=AD-DH=49-36=13$.
AH=13
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать расстояния $AM=7$ и $MD=42$.
Неверно определять координату точки $M$ на высоте $AD$.
Забывать, что ортоцентр лежит на высоте $AD$.
Использовать радиус полуокружности вместо уравнения окружности с диаметром $BC$.