Радиус описанной окружности
Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 39$ и $CD = 6$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$, причём $\angle AKB = 60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Четырёхугольник со сторонами и вписан | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Как связаны угол, образованный пересекающимися хордами, и дуги, заключённые между сторонами этого угла?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Для пересекающихся хорд $AC$ и $BD$: $\angle AKB = \dfrac{1}{2}(\overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{CD})$. Выразите длины хорд через радиус и половины соответствующих центральных углов.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Пусть $x$ — половина центрального угла, опирающегося на хорду $AB$. Тогда $x + 60^\circ - x = 60^\circ$, а $39 = 2R\sin x$, $6 = 2R\sin(60^\circ - x)$. Из этих равенств получите $\cot x = \dfrac{5\sqrt{3}}{13}$ и найдите $R$.