Окружность и круг
Окружность и круг связаны, но это не одно и то же: окружность состоит из точек границы, а круг включает и границу, и все точки внутри неё. В этой теме разберём центр, радиус, диаметр, хорду и дугу, а также научимся находить длины и использовать свойства окружности в экзаменационных задачах.
Окружность и круг: основные определения
Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от одной фиксированной точки. Эта фиксированная точка называется центром окружности и обычно обозначается буквой \(O\). Расстояние от центра до любой точки окружности называют радиусом и обозначают \(R\) или \(r\).
Окружность — граница круга, состоящая из всех точек, удалённых от центра на расстояние \(r\). Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью; он содержит все точки, расстояние от которых до центра не превышает \(r\).
Если точка находится на окружности, её расстояние до \(O\) равно \(r\). Если точка внутри круга, это расстояние меньше \(r\), а если вне круга — больше \(r\). Такие сравнения часто встречаются в задачах на расстояние.
Радиус, диаметр и хорда
Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой. Все радиусы одной окружности равны. Подробный разбор связи между этими величинами дан на странице радиус и диаметр.
Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр соединяет две точки окружности и состоит из двух радиусов, поэтому его длина в два раза больше радиуса.
Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности. Диаметр является частным случаем хорды и одновременно самой длинной хордой данной окружности. Если хорда не проходит через центр, она короче диаметра.
Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам. Обратно: перпендикуляр из центра к середине хорды проходит через середину хорды и является её серединным перпендикуляром. Подробнее свойства хорд рассматриваются на странице свойства хорд окружности.
Дуга, углы и вписанные фигуры
Дуга окружности — часть окружности между двумя её точками. Концы дуги задают хорду. Если концы хорды — точки \(A\) и \(B\), то дуги обозначают \(\overset{\frown}{AB}\). Дуга, соответствующая диаметру, является полуокружностью.
Центральный угол имеет вершину в центре окружности и опирается на дугу. Его величина равна величине дуги, на которую он опирается. Подробнее см. центральный угол.
Вписанный угол имеет вершину на окружности, а его стороны проходят через две другие точки окружности. Он равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Поэтому угол, опирающийся на диаметр, прямой: \(90^\circ\).
Если все вершины многоугольника лежат на одной окружности, многоугольник называют вписанным в окружность. Например, у вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна \(180^\circ\). О свойствах углов см. вписанный угол, а о специальных окружностях треугольника — описанная окружность треугольника.
Не путайте вписанную фигуру с кругом: фигура может быть вписана именно в окружность, то есть её вершины лежат на границе, а не обязательно внутри всей области.
Какой отрезок является одновременно хордой и диаметром?
Длина окружности и площадь круга
Длину окружности обозначают \(C\) или \(L\). Она зависит только от радиуса. Число \(\pi\) — отношение длины окружности к её диаметру; приблизительно \(\pi\approx3{,}14\).
Площадь круга обозначают \(S\). Она равна произведению числа \(\pi\) на квадрат радиуса.
Если известен диаметр, сначала удобно найти радиус: \(r=d/2\), а затем подставить его в формулу площади. Не следует использовать диаметр вместо радиуса без деления на два.
Для частей круга используются отдельные формулы: площадь и длина дуги сектора зависят от центрального угла. Эти случаи разобраны на страницах площадь сектора и сектор и сегмент круга. Полезно также повторить длину окружности, площадь круга, площадь кольца и задачи на длину окружности и площадь круга.
Радиус измеряется в единицах длины, длина окружности — тоже в единицах длины, а площадь круга — в квадратных единицах. Поэтому при увеличении радиуса в \(k\) раз длина окружности увеличивается в \(k\) раз, а площадь — в \(k^2\) раз.
Разобранный пример
Хорда \(AB\) окружности с центром \(O\) равна \(16\) см. Расстояние от центра до хорды равно \(6\) см. Найдите радиус окружности.
Проведём из центра перпендикуляр \(OM\) к хорде \(AB\). По свойству хорд точка \(M\) — середина хорды, поэтому \(AM=MB=8\) см. Треугольник \(OMA\) прямоугольный: \(OM=6\) см, \(AM=8\) см, а \(OA=r\) — радиус.
Ответ: \(10\) см. Такой способ универсален: если расстояние от центра до хорды равно \(h\), а половина хорды равна \(a\), то \(r^2=h^2+a^2\).
1. Путать окружность и круг: длина относится к окружности, площадь — к кругу. 2. Подставлять диаметр в формулу \(S=\pi r^2\) вместо радиуса. 3. Считать любую хорду диаметром: диаметр обязательно проходит через центр. 4. Забывать, что перпендикуляр из центра делит хорду пополам. 5. Округлять \(\pi\) слишком рано, если в ответе требуется точное значение.
Связанные понятия и следующий шаг
Касательная к окружности имеет с ней одну общую точку, а радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: касательная к окружности. Если две окружности имеют общие точки, применяются специальные условия пересечения двух окружностей. Для более сложных задач полезны степень точки относительно окружности, а также свойства вписанной окружности треугольника.
После освоения этой темы можно перейти к правильному многоугольнику и уравнению окружности.
Быстрая проверка
Главное
- Окружность — граница круга, а круг — область внутри окружности вместе с границей.
- Радиус соединяет центр с точкой окружности; диаметр проходит через центр и равен \(2r\).
- Хорда соединяет две точки окружности; диаметр — самая длинная хорда.
- Дуга — часть окружности между двумя точками; центральный угол равен соответствующей дуге, а вписанный угол равен половине дуги.
- Длина окружности вычисляется по формуле \(C=2\pi r\), площадь круга — по формуле \(S=\pi r^2\).
- Перпендикуляр из центра к хорде делит хорду пополам; это свойство часто превращает задачу в прямоугольный треугольник.