Пересечение двух окружностей
Две окружности пересекаются, если имеют одну или две общие точки. Число общих точек определяется радиусами окружностей и расстоянием между их центрами.
Пусть центры окружностей — \(O_1\) и \(O_2\), радиусы — \(r_1\) и \(r_2\), а расстояние между центрами равно \(d\). Расстояние измеряют как длину отрезка \(O_1O_2\); сначала полезно повторить радиус и диаметр и расстояние между точками.
Условия пересечения
Если центры различны, число общих точек определяется так:
- \(|r_1-r_2|<d<r_1+r_2\) — две общие точки;
- \(d=r_1+r_2\) или \(d=|r_1-r_2|\) — одна общая точка, окружности касаются;
- \(d>r_1+r_2\) или \(d<|r_1-r_2|\) — общих точек нет.
Если \(d=0\) и радиусы равны, окружности совпадают и имеют бесконечно много общих точек. Если \(d=0\), но радиусы различны, общих точек нет. Эти случаи рассматривают также при изучении взаимного положения двух окружностей.
Радиусы равны \(5\) и \(3\), расстояние между центрами \(d=4\). Так как \(|5-3|=2<4<8=5+3\), окружности имеют две общие точки. Их хорда является общей хордой двух окружностей.
Окружность и круг — не одно и то же. Окружность состоит только из граничных точек, а круг включает и внутреннюю область. Поэтому точка внутри круга не обязательно принадлежит окружности.
Радиусы окружностей равны \(4\) и \(7\), расстояние между центрами равно \(3\). Сколько общих точек?
Главное
- Сначала найдите расстояние \(d\) между центрами и сравните его с \(r_1+r_2\) и \(|r_1-r_2|\).
- Две, одна или ни одной общей точке соответствуют строгим неравенствам и двум случаям равенства.
- При равных центрах окружности либо совпадают, либо не пересекаются.