Задания № 13, 16 · ЕГЭ

Степень точки относительно окружности

Определение, формулы и связь с произведением отрезков секущих и хорд

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Степень точки относительно окружности — число, которое показывает положение точки по отношению к окружности и выражается через произведение отрезков секущих или через расстояние от точки до центра.

Степень точки относительно окружностиВ задачах степень точки часто находят не по расстоянию до центра, а по произведению отрезков секущих или хорд.

Пусть \(O\) — центр окружности радиуса \(R\), а \(P\) — произвольная точка. Степенью точки \(P\) относительно окружности называется число \(OP^2-R^2\). Если точка находится вне окружности, степень положительна; внутри — отрицательна; на окружности — равна нулю.

\[\operatorname{Pow}_{\omega}(P)=OP^2-R^2\]

Если из внешней точки \(P\) проведена секущая, пересекающая окружность в точках \(A\) и \(B\), то степень точки равна произведению расстояний от \(P\) до этих точек: \(\operatorname{Pow}_{\omega}(P)=PA\cdot PB\). Здесь \(A\) — ближайшая к \(P\) точка пересечения, а \(B\) — дальняя.

Если две хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(P\) внутри окружности, то произведения отрезков равны: \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\). В этом случае речь идёт о теореме о пересекающихся хордах; при использовании направленных отрезков это произведение соответствует отрицательной степени внутренней точки.

№

Пример

Из точки \(P\) к окружности проведена секущая: \(PA=3\) см, \(PB=12\) см. Тогда степень точки равна \(PA\cdot PB=3\cdot12=36\) см\(^2\). Значит, точка \(P\) находится вне окружности.

Не путайте

Степень точки — не расстояние до окружности. Расстояние измеряется в сантиметрах, а степень имеет размерность площади и выражается в квадратных единицах. Для точки на окружности степень равна нулю.

Проверьте себя

Секущая из точки \(P\) пересекает окружность так, что \(PA=4\), \(PB=9\). Чему равна степень точки \(P\)?

Главное за минуту

Главное

Степень точки: \(OP^2-R^2\).
Для внешней точки: \(PA\cdot PB\) для двух отрезков секущей.
Для пересекающихся хорд внутри окружности: \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\).