Задание № 15 · ОГЭ

Длина касательной к окружности

Как найти длину касательной из внешней точки через радиус и степень точки

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Длина касательной к окружности из внешней точки равна квадратному корню из степени этой точки. Если известны расстояние от точки до центра и радиус окружности, её можно найти по теореме Пифагора.

Это длина отрезка касательной от внешней точки до точки касания с окружностью. Пусть \(P\) — внешняя точка, \(T\) — точка касания, \(O\) — центр окружности, \(R\) — её радиус, а \(OP=d\). Тогда длина касательной \(PT\) определяется через степень точки \(P\).

Формула

По свойствам касательной к окружности радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: \(OT\perp PT\). Поэтому треугольник \(OPT\) прямоугольный, и по теореме Пифагора:

\[PT^2=OP^2-OT^2=d^2-R^2\]

\[PT=\sqrt{d^2-R^2}\]

Так как \(d^2-R^2\) — это степень точки относительно окружности, формулу можно записать короче:

\[PT=\sqrt{\operatorname{Pow}(P)}\]

№

Пример

Расстояние от точки \(P\) до центра окружности равно \(13\) см, радиус окружности — \(5\) см. Тогда длина касательной \(PT=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\) см.

Не путайте расстояния

\(OP\) — расстояние от внешней точки до центра, а \(PT\) — длина касательной. Нельзя использовать формулу \(PT=d-R\): она не учитывает прямой угол между радиусом и касательной. Также точка должна быть внешней: \(d>R\).

Проверьте себя

Радиус окружности равен \(8\) см, а расстояние от внешней точки до центра — \(17\) см. Чему равна длина касательной?

Главное за минуту

Главное

Если \(OP=d\) и радиус равен \(R\), то \(PT=\sqrt{d^2-R^2}\).
Квадрат длины касательной равен степени внешней точки: \(PT^2=\operatorname{Pow}(P)\).
Формула применяется при \(d>R\); радиус к точке касания перпендикулярен касательной.