Задания № 4, 7 · ЕГЭ

Свойства касательных к окружности

Равенство отрезков касательных и перпендикулярность радиуса касательной

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Касательная к окружности имеет два главных свойства: она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, а отрезки касательных, проведённых из одной внешней точки, равны.

Свойства касательных к окружностиСлово «касательная» связано с касанием: прямая имеет с окружностью одну общую точку.

Если прямая касается окружности в точке \(A\), то радиус \(OA\), где \(O\) — центр окружности, перпендикулярен этой прямой: \(OA\perp l\). Если из внешней точки \(P\) к окружности проведены две касательные \(PA\) и \(PB\), то их отрезки от точки \(P\) до точек касания равны: \(PA=PB\).

Основные свойства

Точка касания — единственная общая точка касательной и окружности. Радиус, проведённый к этой точке, образует с касательной прямой угол. Поэтому в задачах часто возникает прямоугольный треугольник, например \(OAP\), где \(A\) — точка касания.

\[OA\perp l,\qquad PA=PB\]

Для применения свойства важно, чтобы обе прямые действительно были касательными и исходили из одной точки \(P\). Если известны радиус \(r\) и расстояние от центра до внешней точки \(P\), длину касательной можно найти по теореме Пифагора: \(PA^2=OP^2-r^2\). Подробнее эта связь рассматривается на странице длины касательной.

№

Пример

Из точки \(P\) к окружности проведены касательные \(PA\) и \(PB\). Если \(PA=7\) см, то \(PB=7\) см. Если радиус \(OA=5\) см и \(OP=13\) см, то в прямоугольном треугольнике \(OAP\): \(PA=\sqrt{13^2-5^2}=12\) см.

Не путайте

Равенство \(PA=PB\) относится к отрезкам касательных, проведённым из одной точки. Оно не означает, что любые две касательные к одной окружности равны. Также перпендикулярен касательной именно радиус, проведённый в точку касания, а не любой радиус.

Проверь себя

Из внешней точки \(P\) проведены касательные \(PA\) и \(PB\). Если \(PB=9\) см, чему равен \(PA\)?

Главное за минуту

Главное

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Две касательные к окружности из одной внешней точки имеют равные отрезки: \(PA=PB\).
Для построения и обозначения радиуса полезно повторить свойства радиуса и диаметра, а сама касательная подробно рассматривается на странице касательной к окружности.