Теорема Чевы
Теорема Чевы отвечает на вопрос, пересекаются ли три cevианы треугольника в одной точке. Для этого достаточно проверить произведение трёх отношений отрезков на сторонах треугольника.
Формула Чевы
Теорема применяется, когда нужно доказать конкурентность трёх cevиан или, наоборот, найти неизвестное отношение. В стандартной школьной формулировке точки \(D\), \(E\), \(F\) лежат внутри сторон, поэтому все отношения положительны. Для доказательств часто используют подобие треугольников, а если cevиана является биссектрисой, полезна биссектриса треугольника.
Пусть \(\frac{BD}{DC}=2\), \(\frac{CE}{EA}=\frac{3}{4}\) и \(\frac{AF}{FB}=\frac{2}{3}\). Тогда \(2\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=1\). Следовательно, по теореме Чевы cevианы \(AD\), \(BE\) и \(CF\) пересекаются в одной точке.
Теорема Чевы устанавливает условие пересечения трёх cevиан в одной точке. Теорема Менелая связана с отношениями на сторонах, но проверяет, лежат ли три точки на одной прямой. Важно также не менять местами числитель и знаменатель только в одном отношении: это нарушит равенство.
Известно, что \(\frac{BD}{DC}=3\) и \(\frac{CE}{EA}=\frac{1}{2}\). Каким должно быть отношение \(\frac{AF}{FB}\), чтобы cevианы были конкурентны?
Главное
- Три cevианы \(AD\), \(BE\), \(CF\) конкурентны тогда и только тогда, когда \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1\).
- Для применения теоремы точно сопоставляйте точки: \(D\in BC\), \(E\in CA\), \(F\in AB\).
- Не путайте теорему Чевы с теоремой Менелая: Чева — о пересечении cevиан, Менелай — о коллинеарности точек.