Биссектриса треугольника
Биссектриса треугольника — это отрезок, который начинается в вершине треугольника, делит угол этой вершины пополам и заканчивается на противоположной стороне. Она не только делит угол на два равных угла, но и делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон.
Биссектриса является одним из элементов треугольника. В каждом треугольнике можно провести три биссектрисы — по одной из каждой вершины. Все три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая называется центром вписанной окружности.
Главное свойство
Пусть \(AD\) — биссектриса треугольника \(ABC\), а точка \(D\) лежит на стороне \(BC\). Тогда соседние отрезки стороны \(BC\) пропорциональны двум сторонам, прилегающим к углу \(A\): \(BD\) относится к \(DC\) так же, как \(AB\) относится к \(AC\). Это утверждение называют теоремой о биссектрисе треугольника.
Из формулы можно найти неизвестный отрезок. Например, если известны \(AB\), \(AC\) и \(BC\), сначала используют \(BD+DC=BC\), а затем составляют пропорцию. Если \(AB=AC\), то \(BD=DC\): в равнобедренном треугольнике биссектриса вершины одновременно является медианой.
В треугольнике \(ABC\) биссектриса \(AD\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(D\). Пусть \(AB=6\) см, \(AC=9\) см, \(BC=10\) см. Тогда \(BD:DC=6:9=2:3\). Всего пять равных долей, поэтому \(BD=4\) см, а \(DC=6\) см.
Биссектриса делит угол пополам, а медиана делит противоположную сторону пополам. Эти отрезки совпадают не в любом треугольнике, а, например, в равнобедренном треугольнике при проведении из вершины к основанию.
В треугольнике \(ABC\) \(AD\) — биссектриса, \(AB=8\), \(AC=12\), \(BD=4\). Чему равно \(DC\)?
Главное
- Биссектриса соединяет вершину треугольника с противоположной стороной и делит угол при вершине пополам.
- Если \(AD\) — биссектриса треугольника \(ABC\), то \(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\).
- В равнобедренном треугольнике биссектриса из вершины к основанию также является медианой.