Вписанная окружность треугольника
Вписанная окружность треугольника — это окружность, которая касается всех трёх его сторон. Её центр находится внутри треугольника, а радиус связывает площадь треугольника с его полупериметром.
Основные формулы
Пусть стороны треугольника равны \(a\), \(b\) и \(c\), его площадь — \(S\), а полупериметр — \(p\). Полупериметр равен половине периметра: \(p=\frac{a+b+c}{2}\).
Здесь \(r\) — радиус вписанной окружности. Поэтому радиус можно найти так: \(r=\frac{S}{p}\). Формула получается из разбиения треугольника на три треугольника с общей высотой, равной \(r\), к сторонам \(a\), \(b\) и \(c\). Она дополняет формулы из темы площадь треугольника.
У треугольника площадь \(S=24\text{ см}^2\), а полупериметр \(p=6\text{ см}\). Тогда радиус вписанной окружности \(r=\frac{S}{p}=\frac{24}{6}=4\text{ см}\). Обратно, при \(p=6\text{ см}\) и \(r=4\text{ см}\) площадь равна \(S=pr=24\text{ см}^2\).
Вписанная окружность касается сторон треугольника изнутри. У описанного четырёхугольника окружность также касается сторон, но речь идёт о другой фигуре. Не следует путать вписанную окружность с описанной окружностью треугольника: описанная окружность проходит через его вершины.
Площадь треугольника равна \(30\text{ см}^2\), а полупериметр — \(10\text{ см}\). Чему равен радиус вписанной окружности?
Главное
- Вписанная окружность касается всех трёх сторон треугольника, а её центр — точка пересечения биссектрис.
- Радиус \(r\) перпендикулярен стороне в точке касания.
- Площадь треугольника вычисляется по формуле \(S=pr\), где \(p\) — полупериметр.