Задания № 9, 10 · ЕГЭ

Высота и радиус вписанной окружности

Как связаны площадь треугольника, полупериметр, радиус вписанной окружности и высоты

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Если в треугольник вписана окружность радиуса \(r\), то его площадь равна произведению полупериметра \(p\) на радиус: \(S=pr\). Поэтому любую высоту можно выразить через \(p\), \(r\) и соответствующую сторону.

Связь высоты и радиуса вписанной окружности

Для треугольника с площадью \(S\), полупериметром \(p\) и радиусом вписанной окружности \(r\) выполняется равенство \(S=pr\). Так как площадь через сторону \(a\) и высоту \(h_a\) равна \(S=\frac{1}{2}ah_a\), высота к стороне \(a\) выражается формулой \(h_a=\frac{2pr}{a}\). Аналогично \(h_b=\frac{2pr}{b}\) и \(h_c=\frac{2pr}{c}\).

Основные формулы

Площадь треугольника вычисляется как половина произведения стороны на проведённую к ней высоту. Для треугольника с вписанной окружностью также справедливо \(S=pr\), где полупериметр \(p=\frac{a+b+c}{2}\). Объединяя эти равенства, получаем связь высоты с радиусом окружности.

\[S=pr=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}ch_c\]

\[h_a=\frac{2pr}{a},\qquad h_b=\frac{2pr}{b},\qquad h_c=\frac{2pr}{c}\]

Формула радиуса следует из равенства \(r=\frac{S}{p}\); подробнее она рассматривается на странице радиус вписанной окружности. Геометрически площадь треугольника складывается из площадей трёх треугольников с общей высотой \(r\) и основаниями \(a\), \(b\), \(c\).

№

Пример

Пусть \(a=6\), \(p=9\), \(r=2\). Тогда \(S=pr=18\), а высота к стороне \(a\) равна \(h_a=\frac{2S}{a}=\frac{36}{6}=6\). Такие вычисления часто встречаются в задачах на высоты треугольника.

Не перепутайте

Радиус \(r\) — это расстояние от центра вписанной окружности до каждой стороны, а высота \(h_a\) — перпендикуляр от вершины к стороне \(a\) или её продолжению. Обычно \(r\) не является высотой треугольника.

Проверьте себя

Как найти высоту \(h_b\), если известны \(p\), \(r\) и сторона \(b\)?

Главное за минуту

Главное

Площадь треугольника с вписанной окружностью: \(S=pr\).
Высота к стороне \(a\): \(h_a=\frac{2pr}{a}\); аналогичные формулы действуют для сторон \(b\) и \(c\).
Радиус вписанной окружности и высота — разные отрезки, хотя оба связаны с площадью.