ЕГЭОГЭ
Задание № 16 · ОГЭ

Периметр и площадь четырехугольника

Формулы периметра и площади для основных видов четырехугольников
6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Периметр четырехугольника находят сложением длин всех его сторон, а площадь — разбиением фигуры на более простые части или использованием свойств диагоналей. Важно сначала определить вид четырехугольника и известные величины: стороны, высоты, углы или диагонали.

Периметр четырехугольника

Четырехугольник — многоугольник с четырьмя сторонами, четырьмя вершинами и четырьмя углами. Обычно его вершины обозначают последовательно: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), а стороны — \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\).

D
Определение

Периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон. Для четырехугольника \(ABCD\) периметр равен сумме \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\).

\[P=AB+BC+CD+DA\]

Если стороны обозначены буквами \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), то используют запись \(P=a+b+c+d\). При равных сторонах формулу можно упростить. Например, у ромба со стороной \(a\): \(P=4a\), у квадрата со стороной \(a\) — также \(P=4a\).

Приём

Перед вычислением периметра проверьте, что все длины выражены в одних единицах. Если одна сторона дана в сантиметрах, а другая в метрах, сначала выполните перевод единиц.

Площадь через стороны и высоты

Для произвольного четырехугольника универсальной формулы только через четыре стороны обычно нет. Фигуру разбивают диагональю на два треугольника, находят площади полученных треугольников и складывают их. Поэтому полезно повторить свойства диагоналей четырехугольника.

ABCD
Диагональ \(AC\) делит четырехугольник \(ABCD\) на треугольники \(ABC\) и \(ACD\).

Если диагональ \(AC\) известна, а высоты треугольников \(ABC\) и \(ACD\), опущенные на эту диагональ, равны \(h_1\) и \(h_2\), то площадь четырехугольника равна сумме площадей двух треугольников.

\[S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot h_1+\frac{1}{2}AC\cdot h_2=\frac{1}{2}AC(h_1+h_2)\]

Для параллелограмма площадь равна произведению основания на высоту. Высота должна быть перпендикулярна выбранному основанию, а не просто совпадать с боковой стороной.

\[S_{\text{параллелограмма}}=a\cdot h_a=b\cdot h_b\]

У прямоугольника соседние стороны перпендикулярны, поэтому его площадь равна произведению длины и ширины. У квадрата обе стороны равны.

\[S_{\text{прямоугольника}}=ab,\qquad S_{\text{квадрата}}=a^2\]

У ромба все стороны равны, но для площади часто удобнее использовать диагонали. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся пополам, поэтому ромб состоит из четырех прямоугольных треугольников.

\[S_{\text{ромба}}=\frac{d_1d_2}{2}\]

У трапеции основания параллельны. Ее площадь равна произведению высоты на полусумму оснований. Подробнее задачи, где используются диагонали трапеции, разобраны на странице задачи на диагонали трапеции.

\[S_{\text{трапеции}}=\frac{(a+b)h}{2}\]

Площадь через диагонали

Для некоторых четырехугольников диагонали позволяют быстро получить площадь. Если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то площадь равна половине произведения их длин. Это правило применяется, например, к ромбу, квадрату и дельтоиду.

T
Теорема о перпендикулярных диагоналях

Если диагонали выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны, то его площадь равна половине произведения длин диагоналей.

\[S=\frac{d_1d_2}{2}\quad\text{при }d_1\perp d_2\]

Для произвольного выпуклого четырехугольника с диагоналями \(d_1\) и \(d_2\) и углом \(\alpha\) между ними используется более общая формула:

\[S=\frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha\]

Если диагонали перпендикулярны, то \(\sin 90^\circ=1\), и общая формула превращается в \(S=\frac{d_1d_2}{2}\). Если диагонали не перпендикулярны и угол между ними не дан, одной информации о длинах диагоналей недостаточно для определения площади.

Проверь себя

У выпуклого четырехугольника диагонали равны \(8\) см и \(5\) см и перпендикулярны. Чему равна его площадь?

Разобранный пример

№
Задача

У ромба диагонали равны \(12\) см и \(16\) см. Найдите площадь и периметр ромба, если его сторона равна \(10\) см.

1
Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому используем формулу площади через диагонали.
\(\displaystyle S=\frac{d_1d_2}{2}\)
2
Подставляем значения диагоналей \(12\) см и \(16\) см.
\(\displaystyle S=\frac{12\cdot16}{2}=96\ \text{см}^2\)
3
У ромба четыре равные стороны. Для периметра умножаем сторону на 4.
\(\displaystyle P=4a=4\cdot10=40\ \text{см}\)

Ответ: \(S=96\) см², \(P=40\) см. В этой задаче площадь и периметр вычисляются независимо: для площади нужны диагонали, а для периметра — сторона.

Как выбирать формулу в задаче

  1. Определите вид четырехугольника: прямоугольник, квадрат, параллелограмм, ромб, трапеция или произвольный четырехугольник.
  2. Выпишите известные величины и приведите их к одинаковым единицам измерения.
  3. Для периметра сложите четыре стороны или воспользуйтесь равенством сторон.
  4. Для площади выберите формулу по данным: основание и высота, диагонали, стороны прямоугольника или основания и высота трапеции.
  5. Проверьте единицы ответа: периметр измеряется в единицах длины, площадь — в квадратных единицах.
!
Частые ошибки

1. Перепутать периметр и площадь: периметр складывают, площадь измеряют квадратными единицами. 2. Применить формулу \(S=\frac{d_1d_2}{2}\) к любому четырехугольнику без проверки перпендикулярности диагоналей. 3. Принять боковую сторону параллелограмма за высоту, хотя она не перпендикулярна основанию. 4. Забыть, что в формуле площади трапеции используется полусумма оснований. 5. При разбиении четырехугольника диагональю посчитать только один из двух треугольников.

Запомнить

Периметр — сумма сторон. Площадь параллелограмма — основание умножить на высоту. Площадь трапеции — полусумма оснований, умноженная на высоту. При перпендикулярных диагоналях площадь четырехугольника — половина произведения диагоналей.

Q
Быстрый тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · Периметр
Стороны четырехугольника равны \(3\) см, \(5\) см, \(7\) см и \(9\) см. Найдите периметр.
Главное за минуту

Главное

  • Периметр четырехугольника равен сумме четырех его сторон: \(P=a+b+c+d\).
  • Площадь параллелограмма находят как \(ah\), прямоугольника — как \(ab\), трапеции — как \(\frac{(a+b)h}{2}\).
  • Если диагонали перпендикулярны, то \(S=\frac{d_1d_2}{2}\). В общем случае при известном угле между диагоналями \(S=\frac12d_1d_2\sin\alpha\).
  • Произвольный четырехугольник можно разделить диагональю на два треугольника и сложить их площади.
  • Всегда проверяйте вид фигуры, перпендикулярность диагоналей и единицы измерения.