Задачи на углы параллелограмма
Задачи на углы параллелограмма решаются с помощью двух идей: свойства параллельных прямых и свойства противоположных углов. Если правильно определить, какие углы являются соседними, а какие — противоположными, то почти всегда достаточно применить равенство или сумму до \(180^\circ\).
Что нужно знать о параллелограмме
Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Обычно вершины обозначают последовательно: \(ABCD\), поэтому \(AB\parallel CD\) и \(BC\parallel AD\).
Соседние углы параллелограмма имеют общую сторону, а их остальные стороны являются противоположными сторонами параллелограмма. Противоположные углы расположены напротив друг друга и не имеют общей стороны.
В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма соседних углов равна \(180^\circ\). Это следует из параллельности противоположных сторон и свойств углов при пересечении параллельных прямых секущей.
Поэтому достаточно знать один угол: два угла будут ему равны, а два других найдутся как \(180^\circ\) минус известный угол. Эти свойства являются частью общей темы свойств параллелограмма, которую полезно повторить перед решением задач.
Углы при параллельных сторонах
Рассмотрим сторону \(AB\) как секущую для параллельных прямых \(AD\) и \(BC\). Углы при вершинах \(A\) и \(B\) — односторонние внутренние, поэтому их сумма равна \(180^\circ\). Аналогично сумма углов при вершинах \(B\) и \(C\) тоже равна \(180^\circ\).
Если один из соседних углов острый, то другой соседний угол тупой. В прямоугольном параллелограмме все углы прямые: если один угол равен \(90^\circ\), то соседний также равен \(180^\circ-90^\circ=90^\circ\), а противоположные углы равны ему.
1. Назовите все вершины и мысленно определите, где находится данный угол. 2. Проверьте, является ли искомый угол противоположным данному или соседним с ним. 3. Для противоположных углов используйте равенство, для соседних — сумму \(180^\circ\). 4. Если в условии есть внешний угол, сначала свяжите его с внутренним через развернутый угол или свойство внешнего угла.
В параллелограмме \(ABCD\) угол \(A\) равен \(68^\circ\). Чему равен угол \(B\)?
Разобранный пример
В параллелограмме \(ABCD\) угол \(A\) равен \(47^\circ\). Найдите углы \(B\), \(C\) и \(D\).
Ответ: \(\angle B=133^\circ\), \(\angle C=47^\circ\), \(\angle D=133^\circ\). Проверка: \(47^\circ+133^\circ+47^\circ+133^\circ=360^\circ\), что совпадает с суммой углов четырёхугольника.
Как решать задачи с буквенными выражениями
Иногда углы заданы не числами, а выражениями, например \(\angle A=3x+10^\circ\), \(\angle B=5x-30^\circ\). Так как эти углы соседние, составляют уравнение \((3x+10)+(5x-30)=180\). После нахождения \(x\) подставьте его в выражения и вычислите сами углы.
Если выражения относятся к противоположным углам, составляют уравнение на равенство: например, \(2x+15=5x-30\). Важно не решать уравнение «по рисунку»: сначала нужно установить геометрическую связь между углами.
- Запишите, какие стороны параллельны.
- Определите связь углов: противоположные или соседние.
- Составьте равенство углов или их сумму \(180^\circ\).
- Решите уравнение и найдите требуемую величину.
- Проверьте, что каждый угол положителен и меньше \(180^\circ\).
Ошибка 1. Ученик считает соседние углы равными. Равны только противоположные углы. Ошибка 2. Для соседних углов записывают сумму \(360^\circ\). \(360^\circ\) — сумма всех четырёх углов, а соседние дают \(180^\circ\). Ошибка 3. Не учитывают, что вершины должны идти по порядку: запись \(ABCD\) означает последовательные вершины. Ошибка 4. Внешний угол принимают за внутренний. Сначала отметьте, между какими лучами образован каждый угол.
Внешние углы и дополнительные построения
Внешний угол получается, если одну сторону параллелограмма продолжить. Внутренний и смежный с ним внешний угол образуют развернутый угол, поэтому их сумма равна \(180^\circ\). Если внутренний угол равен \(47^\circ\), соответствующий внешний угол равен \(133^\circ\).
При проведении диагонали параллелограмм распадается на два треугольника. Тогда можно использовать сумму углов треугольника, но чаще для стандартных задач достаточно свойств параллелограмма. Если требуется найти угол между диагональю и стороной, понадобятся дополнительные данные или свойства равенства треугольников.
Для параллелограмма \(ABCD\): \(\angle A=\angle C\), \(\angle B=\angle D\), а \(\angle A+\angle B=180^\circ\). Значит, углы имеют вид \(\alpha\), \(180^\circ-\alpha\), \(\alpha\), \(180^\circ-\alpha\).
Проверка знаний
Quick-test
Главное
- Противоположные углы параллелограмма равны.
- Соседние углы в сумме дают \(180^\circ\).
- Чтобы найти неизвестный угол, сначала определите его связь с данным: равенство или дополнительность.
- Для буквенных выражений составьте уравнение только после геометрического обоснования.
- Внешний угол и соседний внутренний угол также составляют \(180^\circ\).