ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задания № 17, 18 · ОГЭ

Свойства параллелограмма

Противоположные стороны и углы, диагонали, признаки и задачи
7 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Параллелограмм — один из основных видов четырёхугольников. В этой теме собраны его свойства, признаки и приёмы решения задач: от классификации четырёхугольников до вычисления углов, сторон и отрезков, на которые диагонали делят друг друга.

Что такое параллелограмм

Чтобы распознавать параллелограмм среди четырёхугольников, сначала вспомним его определение. Четырёхугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали. Параллелограмм выделяется тем, что его противоположные стороны попарно параллельны.

D
Определение

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Обычно его обозначают \(ABCD\), где \(AB \parallel CD\) и \(BC \parallel AD\).

ABCD
Параллелограмм \(ABCD\) и его диагонали \(AC\) и \(BD\).

Классификация четырёхугольников строится по дополнительным свойствам. Любой прямоугольник, ромб или квадрат является параллелограммом, потому что у него противоположные стороны параллельны. Обратное неверно: не каждый параллелограмм является прямоугольником или ромбом.

  • прямоугольник — параллелограмм с прямыми углами;
  • ромб — параллелограмм с равными сторонами;
  • квадрат — параллелограмм, одновременно прямоугольник и ромб;
  • обычный параллелограмм может не иметь ни прямых углов, ни равных соседних сторон.
Важно запомнить

У параллелограмма противоположные стороны равны и параллельны, а соседние стороны вообще говоря не равны и не параллельны.

Стороны и углы

T
Свойства сторон и углов

В параллелограмме: 1) противоположные стороны равны; 2) противоположные углы равны; 3) сумма соседних углов равна \(180^\circ\).

\[AB=CD,\qquad BC=AD\]
\[\angle A=\angle C,\qquad \angle B=\angle D\]
\[\angle A+\angle B=180^\circ\]

Свойства углов следуют из параллельности противоположных сторон. Например, стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны, а \(AD\) — секущая, поэтому внутренние односторонние углы \(A\) и \(D\) в сумме дают \(180^\circ\). Аналогично рассматривают другие пары.

Если известен один угол параллелограмма, то все углы находятся без дополнительных построений. Противоположный угол равен данному, а два соседних равны разности между \(180^\circ\) и данным углом.

№
Пример: углы по одному известному углу

В параллелограмме \(ABCD\) угол \(A\) равен \(68^\circ\). Найдём остальные углы.

1
Противоположные углы параллелограмма равны.
\(\displaystyle \angle C=\angle A=68^\circ\)
2
Соседние углы supplementary, то есть в сумме дают \(180^\circ\).
\(\displaystyle \angle B=180^\circ-68^\circ=112^\circ\)
3
Противоположные углы равны.
\(\displaystyle \angle D=\angle B=112^\circ\)
Проверь себя

Один из углов параллелограмма равен \(125^\circ\). Чему равен соседний угол?

Диагонали параллелограмма

Диагонали параллелограмма соединяют противоположные вершины: это \(AC\) и \(BD\). Они могут быть разной длины и обычно не являются биссектрисами углов. Главное свойство диагоналей связано с точкой их пересечения.

T
Свойство диагоналей

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Если \(O\) — точка пересечения диагоналей, то \(AO=OC\) и \(BO=OD\).

\[AO=OC=\frac{AC}{2},\qquad BO=OD=\frac{BD}{2}\]

Подробное изучение диагоналей приведено на странице о диагоналях параллелограмма. Для задач достаточно помнить: точка пересечения диагоналей — середина каждой диагонали.

№
Пример: отрезки диагоналей

Диагонали параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Известно, что \(AO=7\) см и \(BO=4\) см. Найдём длины диагоналей.

1
Точка \(O\) делит диагональ \(AC\) пополам.
\(\displaystyle OC=AO=7\text{ см}\)
2
Длина диагонали складывается из двух равных половин.
\(\displaystyle AC=AO+OC=7+7=14\text{ см}\)
3
Точка \(O\) также делит диагональ \(BD\) пополам.
\(\displaystyle OD=BO=4\text{ см}\)
4
Находим вторую диагональ.
\(\displaystyle BD=BO+OD=4+4=8\text{ см}\)

Не следует переносить на любой параллелограмм свойства прямоугольника или ромба. У прямоугольника диагонали равны, у ромба диагонали перпендикулярны, но у произвольного параллелограмма это не обязано выполняться.

Признаки параллелограмма

Признак позволяет доказать, что данный четырёхугольник является параллелограммом. В задачах часто дают не параллельность, а равенство сторон или диагоналей.

T
Признаки параллелограмма

Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно условие: 1) его противоположные стороны попарно равны; 2) одна пара противоположных сторон равна и параллельна; 3) диагонали точкой пересечения делятся пополам; 4) противоположные углы попарно равны.

  1. Выберите подходящий признак по данным задачи.
  2. Укажите, какие стороны, углы или части диагоналей соответствуют условию.
  3. Сделайте вывод: данный четырёхугольник — параллелограмм.
№
Пример: доказательство по диагоналям

В четырёхугольнике \(ABCD\) диагонали пересекаются в точке \(O\), причём \(AO=OC\) и \(BO=OD\). Докажем, что \(ABCD\) — параллелограмм.

1
По условию точка \(O\) делит диагональ \(AC\) пополам.
AO=OC
2
По условию точка \(O\) делит диагональ \(BD\) пополам.
BO=OD
3
Значит, диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам.
\(\displaystyle AC\text{ и }BD\text{ делятся пополам}\)
4
По признаку параллелограмма делаем вывод.
\(\displaystyle ABCD\text{ — параллелограмм}\)

Если в условии сказано, что только одна пара противоположных сторон равна, этого недостаточно: такой четырёхугольник ещё не обязан быть параллелограммом. Нужна дополнительная параллельность или другое условие из признаков.

Типовые задачи и алгоритмы

Большинство экзаменационных задач сводится к нескольким действиям: найти неизвестный угол, использовать равенство противоположных сторон, разделить диагональ пополам или применить признак.

  • Если дан угол — выпишите равный ему противоположный и соседний, равный \(180^\circ\) минус данный.
  • Если дана диагональ и её половина — умножьте половину на \(2\).
  • Если дана сторона и нужно найти противоположную — используйте равенство противоположных сторон.
  • Если требуется доказательство — сопоставьте условие с одним из четырёх признаков.
  • Если в задаче есть высота или площадь, повторите формулы на страницах о площади параллелограмма и о формулах площади треугольника.

В более сложных задачах параллелограмм разбивают диагональю на два равных треугольника. Это помогает применять свойства треугольников, теорему косинусов или теорему синусов, если известны стороны и углы.

!
Частые ошибки

1) Называть соседние углы равными: равны только противоположные. 2) Считать, что диагонали любого параллелограмма равны или перпендикулярны: это специальные свойства прямоугольника или ромба. 3) Забывать удвоить половину диагонали. 4) Делать вывод о параллелограмме по одной паре равных сторон без дополнительного условия. 5) Путать вершины: в записи \(ABCD\) противоположны пары \(AB\) и \(CD\), \(BC\) и \(AD\).

Q
Быстрый тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · стороны
Какова длина противоположной стороны, если \(AB=9\) см?
Главное за минуту

Главное

  • Параллелограмм — четырёхугольник с двумя парами параллельных противоположных сторон.
  • Противоположные стороны и углы равны; соседние углы в сумме дают \(180^\circ\).
  • Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
  • Параллелограмм можно распознать по равенству противоположных сторон, одной равной и параллельной паре, делению диагоналей пополам или равенству противоположных углов.
  • Не переносите на обычный параллелограмм специальные свойства прямоугольника, ромба и квадрата.