Задания № 16, 18 · ОГЭ

Теорема косинусов

Как найти сторону или угол треугольника по двум сторонам и углу между ними

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Теорема косинусов связывает три стороны треугольника и угол между двумя из них. С её помощью находят неизвестную сторону по двум сторонам и углу между ними, а также угол по трём сторонам.

Теорема косинусовНазвание связано с функцией косинуса, которая входит в формулу.

В любом треугольнике квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для сторон \(a\), \(b\), \(c\) и угла \(\gamma\) напротив стороны \(c\) это записывают так: \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\). Теорема применяется при решении треугольников — нахождении его неизвестных сторон и углов.

Формулы

\[c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\]

Аналогично составляются две другие формулы: \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\) и \(b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta\). Если известны все три стороны, угол находят, выразив косинус:

\[\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\]

Здесь сторона \(c\) лежит напротив угла \(\gamma\), а стороны \(a\) и \(b\) образуют этот угол. Поэтому важно правильно сопоставить угол и противоположную ему сторону. Знание прямоугольного треугольника помогает понять частный случай теоремы.

№

Пример

Пусть \(a=3\), \(b=4\), а угол между ними равен \(90^\circ\). Тогда \(\cos90^\circ=0\), поэтому \(c^2=3^2+4^2=25\) и \(c=5\). Так теорема косинусов переходит в теорему Пифагора для прямоугольного треугольника.

Не перепутайте угол

В формуле берут именно угол между известными сторонами. Нельзя подставлять, например, угол \(\alpha\), если стороны \(a\) и \(b\) не образуют его. Также не следует автоматически заменять теорему косинусов теоремой синусов: теорема синусов связывает стороны с синусами противоположных углов и обычно удобнее при других исходных данных.

Проверьте себя

В треугольнике \(a=5\), \(b=7\), угол между ними равен \(60^\circ\). Какая формула верна для стороны \(c\)?

Главное за минуту

Главное

\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\) — основная формула теоремы косинусов.
Угол в формуле должен быть углом между двумя сторонами, известными в правой части.
При угле \(90^\circ\) теорема косинусов превращается в теорему Пифагора.