Задания № 4, 7, 10 · ЕГЭ

Решение треугольников

Как находить стороны и углы треугольника по известным элементам
6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Решение треугольника — это нахождение всех его неизвестных сторон и углов по известным элементам. Для этого используют сумму углов треугольника, свойства прямоугольного треугольника, подобие треугольников, теорему Пифагора, теорему синусов и теорему косинусов.

1. Обозначения и основные свойства

В треугольнике \(ABC\) стороны, лежащие напротив одноимённых углов, обозначают так: \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\). Углы обозначают \(A\), \(B\), \(C\). Сторона и противолежащий ей угол образуют пару: стороне \(a\) соответствует угол \(A\).

BCAacb
Треугольник \(ABC\): \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\).
D
Треугольник

Треугольник — многоугольник с тремя сторонами, тремя вершинами и тремя углами. Сумма его внутренних углов равна \(180^\circ\).

\[A+B+C=180^\circ\]
T
Неравенство треугольника

Для существования треугольника длина каждой стороны меньше суммы двух других: \(a<b+c\), \(b<a+c\), \(c<a+b\). Одновременно сторона, лежащая напротив большего угла, длиннее.

Если известны два угла, третий находят вычитанием из \(180^\circ\). Если треугольник прямоугольный, сначала проверьте, нельзя ли применить теорему Пифагора или отношения в прямоугольном треугольнике.

2. Теорема синусов

Теорема синусов связывает стороны и противолежащие углы. Она особенно удобна, когда известна пара «сторона — противоположный угол» и нужно найти другую сторону или угол.

\[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\]

Здесь \(R\) — радиус описанной окружности. Например, если известны \(a\), \(A\) и \(B\), то сначала находят \(C=180^\circ-A-B\), а затем сторону \(b\) по пропорции.

Как выбрать формулу

Записывайте только нужную часть равенства: \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\). Это уменьшает количество действий и помогает не перепутать сторону с углом.

3. Теорема косинусов

Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора и применяется, когда известны две стороны и угол между ними либо три стороны.

\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\]
\[b^2=a^2+c^2-2ac\cos B\]
\[c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\]

Если известны все три стороны, угол находят из преобразованной формулы:

\[\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\]

При \(A=90^\circ\) слагаемое \(2bc\cos A\) равно нулю, и получается теорема Пифагора. Если угол острый, противолежащая сторона меньше; если тупой — больше квадратного корня из суммы квадратов двух других сторон.

Проверь себя

Какая формула подходит, если известны стороны \(b\), \(c\) и угол \(A\) между ними?

4. Алгоритм решения треугольника

  1. Сделайте чертёж и подпишите известные стороны и углы.
  2. Проверьте, какие элементы образуют удобную пару: две стороны и угол между ними, три стороны или сторона и два угла.
  3. Выберите теорему: сумму углов, теорему Пифагора, синусов или косинусов.
  4. Найдите неизвестные элементы, сохраняя точность до конца вычислений.
  5. Проверьте ответ: сумма углов должна быть \(180^\circ\), а стороны — удовлетворять неравенству треугольника.
T
Типичные наборы данных

По двум углам и стороне удобно применять теорему синусов. По двум сторонам и углу между ними — теорему косинусов. По трём сторонам сначала находят угол теоремой косинусов, затем остальные — теоремой косинусов или синусов.

5. Разобранный пример

№
Найти сторону по двум углам и стороне

В треугольнике \(ABC\) даны \(A=40^\circ\), \(B=65^\circ\), \(a=8\). Найдём стороны \(b\) и \(c\).

1
Сначала найдём третий угол по сумме углов треугольника.
\(\displaystyle C=180^\circ-40^\circ-65^\circ=75^\circ\)
2
Применим теорему синусов к стороне \(b\), соответствующей углу \(B\).
\(\displaystyle \frac{b}{\sin65^\circ}=\frac{8}{\sin40^\circ}\)
3
Выразим \(b\) и вычислим приближённое значение.
\(\displaystyle b=\frac{8\sin65^\circ}{\sin40^\circ}\approx\frac{8\cdot0{,}9063}{0{,}6428}\approx11{,}27\)
4
Аналогично найдём сторону \(c\), соответствующую углу \(C\).
\(\displaystyle \frac{c}{\sin75^\circ}=\frac{8}{\sin40^\circ},\qquad c=\frac{8\sin75^\circ}{\sin40^\circ}\approx12{,}03\)

Ответ: \(C=75^\circ\), \(b\approx11{,}27\), \(c\approx12{,}03\). Проверка по сторонам согласуется с углами: \(C>B>A\), поэтому \(c>b>a\).

6. Специальные случаи и дополнительные связи

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а в равностороннем каждый угол равен \(60^\circ\). В прямоугольном треугольнике острые углы в сумме дают \(90^\circ\); для нахождения элементов можно использовать синус, косинус и тангенс острого угла.

Высота, медиана и биссектриса помогают разбить треугольник на более простые фигуры. Для вычисления площади используйте страницу площадь треугольника, а отношения отрезков — свойства подобия треугольников. Формулы медианы и биссектрисы рассматриваются на соседних страницах после этого конспекта.

!
Частые ошибки

1. Сторону сопоставляют не с тем углом: сторона \(a\) лежит напротив \(A\). 2. В теореме косинусов забывают знак «минус». 3. В калькуляторе оставляют радианный режим вместо градусного. 4. Округляют промежуточные значения слишком рано. 5. При поиске угла по косинусу забывают применить \(\arccos\).

Запомнить

Сумма углов — \(180^\circ\); теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов; напротив большего угла лежит большая сторона.

Q
Быстрый тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин3 вопроса
Вопрос 1 / 3
Вопрос 1 из 3 · Сумма углов
Чему равен третий угол, если два других равны \(48^\circ\) и \(72^\circ\)?
Главное за минуту

Главное

  • Всегда начинайте с чертежа и правильного сопоставления сторон с противолежащими углами.
  • Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
  • Теорема синусов удобна при известной паре «сторона — противолежащий угол».
  • Теорема косинусов применяется по двум сторонам и углу между ними или по трём сторонам.
  • Проверяйте градусный режим калькулятора, порядок сторон и неравенство треугольника.