Задания № 9, 10 · ЕГЭ

Формула длины биссектрисы треугольника

Как найти длину отрезка, делящего угол треугольника пополам

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Длина биссектрисы треугольника — это длина отрезка, который выходит из вершины треугольника, делит её угол пополам и достигает противоположной стороны. Её можно вычислить по трём сторонам треугольника.

Пусть биссектриса, проведённая из вершины \(A\), пересекает сторону \(BC\) в точке \(D\). Обозначим \(BC=a\), \(CA=b\), \(AB=c\), а длину биссектрисы \(AD\) — через \(l_a\). Тогда \(l_a\) выражается через стороны \(a\), \(b\) и \(c\).

Формула

\[l_a=\frac{\sqrt{bc\left((b+c)^2-a^2\right)}}{b+c}\]1

Здесь \(a\) — сторона, противоположная вершине \(A\), а \(b\) и \(c\) — стороны, прилежащие к этой вершине. Аналогично записываются формулы для биссектрис из вершин \(B\) и \(C\): нужно циклически заменить буквы и стороны.

Формула следует из свойства биссектрисы треугольника и теоремы косинусов. В задачах сначала важно правильно определить, какая сторона лежит напротив вершины, из которой проведена биссектриса.

№

Пример

Пусть \(a=5\), \(b=4\), \(c=3\). Найдём биссектрису из вершины \(A\):\n\n\(l_a=\frac{\sqrt{3\cdot4\left((3+4)^2-5^2\right)}}{3+4}=\frac{\sqrt{12\cdot24}}{7}=\frac{12\sqrt2}{7}\).\n\nСледовательно, длина биссектрисы равна \(\frac{12\sqrt2}{7}\), примерно \(2{,}42\).

Не путайте с медианой

Биссектриса делит угол пополам, а медиана делит противоположную сторону пополам. Их длины обычно различны. В равнобедренном треугольнике биссектриса из вершины при основании совпадает с медианой и высотой, но это особый случай.

Проверьте себя

В формуле длины биссектрисы \(l_a\) какая сторона обозначается буквой \(a\)?

Главное за минуту

Главное

Для биссектрисы из вершины \(A\): \(l_a=\frac{\sqrt{bc((b+c)^2-a^2)}}{b+c}\).
Сторона \(a\) противоположна вершине \(A\), а \(b\) и \(c\) прилежат к ней.
Биссектриса делит угол пополам; деление стороны пополам — свойство медианы.