Задачи на измерение углов
В задачах на измерение углов обычно нужно перевести условие на язык уравнений. Для этого распознают вид углов, используют их свойства, составляют уравнение и проверяют, подходит ли найденное значение геометрическому рисунку.
Как читать условие и обозначения
Угол обозначают тремя заглавными буквами: средняя буква — его вершина. Например, в записи \(\angle ABC\) вершина находится в точке \(B\), а стороны угла — лучи \(BA\) и \(BC\). Иногда угол обозначают одной буквой, если у вершины на рисунке нет нескольких углов, которые можно перепутать.
Измерять угол можно в градусах. Прямой угол равен \(90^\circ\), развернутый — \(180^\circ\), полный — \(360^\circ\). Острый угол меньше \(90^\circ\), тупой больше \(90^\circ\), но меньше \(180^\circ\).
Равные углы имеют одинаковую градусную меру. Если \(\angle 1=\angle 2\), то их величины совпадают, хотя сами углы могут быть расположены в разных местах чертежа.
Если в условии сказано, что один угол в несколько раз больше другого, удобно обозначить меньший угол через \(x\). Тогда больший угол равен \(kx\), где \(k\) — указанное число. Если сказано «на \(a^\circ\) больше», записывают \(x+a\), а если «на \(a^\circ\) меньше» — \(x-a\).
Фразы «в отношении \(m:n\)» соответствуют записи \(mx\) и \(nx\). Фраза «сумма углов равна \(S\)» даёт уравнение \(mx+nx=S\). Сначала выбирайте одну величину за \(x\), а остальные выражайте через неё.
Смежные и вертикальные углы
Перед решением полезно повторить свойства смежных углов и вертикальных углов. Они возникают, когда две прямые пересекаются или несколько лучей имеют общую вершину.
Смежные углы имеют общую вершину и общую сторону, а две другие стороны являются противоположными лучами. Их сумма равна \(180^\circ\).
Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Они равны попарно: каждый угол равен противоположному ему углу.
Если известен один угол при пересечении двух прямых, то противоположный равен ему, а каждый соседний равен разности \(180^\circ\) и этого угла. Поэтому вокруг точки пересечения достаточно найти один угол.
Алгоритм решения задач по отношениям
Задачи на отношения решаются одинаково независимо от того, где находятся углы: на пересечении прямых, в треугольнике или около одной вершины.
- Определите, какие углы нужно найти и какие свойства связывают их.
- Обозначьте одну часть отношения через \(x\).
- Выразите остальные углы через \(x\).
- Составьте уравнение по сумме углов или по равенству вертикальных углов.
- Решите уравнение и найдите требуемую величину.
- Проверьте ответ: углы не должны быть отрицательными, а их вид должен соответствовать условию.
Например, если два смежных угла относятся как \(2:7\), можно записать их как \(2x\) и \(7x\). Так как они смежные, \(2x+7x=180^\circ\). Если же два вертикальных угла относятся как \(3:3\), это означает только их равенство; уравнение с суммой \(180^\circ\) для них составлять нельзя.
Два смежных угла относятся как \(1:5\). Какое уравнение нужно составить?
Разобранный пример
Две прямые пересекаются. Один из образовавшихся углов в \(3\) раза больше другого. Найдите все углы, если эти два угла являются смежными.
Ответ: при пересечении прямых образуются два угла по \(45^\circ\) и два угла по \(135^\circ\). Проверка: \(45^\circ+135^\circ=180^\circ\), а вертикальные пары действительно равны.
Суммы углов и дополнительные условия
Иногда отношение дано не между смежными углами, а между углами, сумма которых известна из другой фигуры. В треугольнике сумма внутренних углов равна \(180^\circ\). Если один угол равен \(x\), второй — \(2x\), а третий — \(3x\), уравнение имеет вид \(x+2x+3x=180^\circ\).
При работе с лучами может понадобиться понятие луча и угла. Если несколько углов расположены рядом внутри развернутого угла, сумма всех частей равна \(180^\circ\). Если лучи разбивают полный угол вокруг точки, сумма частей равна \(360^\circ\).
Если один из лучей является биссектрисой угла, он делит угол на два равных угла. Тогда при величине исходного угла \(\alpha\) каждая часть равна \(\frac{\alpha}{2}\). Это дополнительное равенство часто включают в систему вместе со свойством смежных или вертикальных углов.
| Ситуация | Что записать | Типичная проверка |
|---|---|---|
| Смежные углы | \(\alpha+\beta=180^\circ\) | Сумма должна быть \(180^\circ\) |
| Вертикальные углы | \(\alpha=\beta\) | Углы противоположны |
| Углы в отношении \(m:n\) | \(\alpha=mx,\ \beta=nx\) | Обе величины положительны |
| Углы вокруг точки | \(\alpha+\beta+\gamma+\dots=360^\circ\) | Сумма всех частей полного угла |
| Биссектриса | \(\alpha_1=\alpha_2\) | Части одного угла равны |
Частые ошибки
1. Не путайте смежные и вертикальные углы: для первых используют сумму \(180^\circ\), для вторых — равенство. 2. Не считайте равными любые углы, которые выглядят похожими на рисунке: равенство должно следовать из условия или теоремы. 3. В отношении \(2:5\) нельзя сразу считать углы равными \(2^\circ\) и \(5^\circ\) — это \(2x\) и \(5x\). 4. Не забывайте единицу измерения \(^\circ\). 5. После решения проверьте, не получился ли тупой угол там, где по условию должен быть острый.
При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. В каждой паре углы равны, а любые два соседних угла в сумме дают \(180^\circ\).
Как быстро проверить решение
Проверка состоит из трёх шагов. Сначала подставьте найденные значения в исходное отношение. Затем проверьте свойства фигуры: смежные углы должны дать \(180^\circ\), вертикальные — совпасть. Наконец, сравните результат с рисунком: острый угол меньше \(90^\circ\), тупой больше \(90^\circ\).
Если в задаче требуется только один угол, не обязательно выписывать все четыре угла при пересечении прямых. Но нахождение всей четвёрки часто помогает заметить ошибку и убедиться, что ответ согласуется с геометрией.
Быстрая проверка
Главное
- Равные углы имеют одинаковую градусную меру; равенство должно быть обосновано условием или свойством фигуры.
- Смежные углы в сумме дают \(180^\circ\), а вертикальные углы равны.
- Для отношения \(m:n\) вводите общий множитель: \(mx\) и \(nx\).
- Составляйте уравнение по известной сумме углов, решайте его и обязательно проверяйте ответ.
- При пересечении двух прямых достаточно найти один угол: противоположный равен ему, соседний дополняет его до \(180^\circ\).