Виды углов и их измерение
Угол — одна из базовых фигур планиметрии. В этой теме разберём, как устроен угол, какие углы бывают, как измерять их транспортиром и выполнять действия с градусными мерами.
Что такое угол
Угол образуется двумя лучами, имеющими общее начало. Общее начало называют вершиной угла, а лучи — его сторонами. Угол обозначают тремя заглавными буквами: средняя буква должна соответствовать вершине, например \(\angle ABC\). Иногда угол обозначают одной буквой, если около вершины указан только один угол: \(\angle B\).
Угол — это фигура, образованная двумя лучами с общей начальной точкой. Угол \(\angle AOC\) имеет вершину O и стороны OA и OC.
Внутренняя область угла находится между его сторонами. При записи названия важно не перепутать вершину со сторонами: в обозначении \(\angle AOC\) вершина — O, а не A и не C. Тема связана с общей классификацией геометрических фигур на плоскости и опирается на понятия точки, прямой и луча.
Виды углов
Углы классифицируют по их градусной мере. Градусная мера показывает, какую часть полного оборота составляет поворот от одной стороны угла к другой.
| Вид угла | Градусная мера | Признак |
|---|---|---|
| Острый | \(0^\circ<\alpha<90^\circ\) | Меньше прямого угла |
| Прямой | \(\alpha=90^\circ\) | Стороны перпендикулярны |
| Тупой | \(90^\circ<\alpha<180^\circ\) | Больше прямого, но меньше развернутого |
| Развернутый | \(\alpha=180^\circ\) | Стороны образуют одну прямую |
Острый угол меньше \(90^\circ\). Прямой угол равен \(90^\circ\). Тупой угол больше \(90^\circ\), но меньше \(180^\circ\). Развернутый угол равен \(180^\circ\).
Прямой угол часто отмечают небольшим квадратиком у вершины. Если стороны угла лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны, угол развернутый. Угол, меньший \(180^\circ\), называют выпуклым; в школьных задачах чаще всего рассматривают именно такие углы.
Градусная мера и измерение
Единицей измерения углов является градус, обозначаемый знаком \(^\circ\). Полный оборот равен \(360^\circ\), поэтому развернутый угол составляет половину полного оборота: \(180^\circ\), а прямой — четверть: \(90^\circ\).
Для измерения угла используют транспортир. Его центр совмещают с вершиной угла, а одну сторону совмещают с нулевой отметкой шкалы. Затем считывают число градусов на той шкале, где эта сторона начинается с нуля. Если сторона угла направлена вправо, обычно используют внутреннюю шкалу, если влево — внешнюю, но главное правило — начинать отсчёт от \(0^\circ\).
Градусная мера угла — положительное число. Если луч проходит внутри угла, то градусная мера всего угла равна сумме мер получившихся частей.
В формулах часто используют обозначение \(m(\angle A)\) или просто \(\alpha\). При сравнении углов больше тот угол, чья градусная мера больше. Равные углы имеют одинаковую градусную меру, даже если их стороны направлены по-разному.
Какой угол имеет меру \(127^\circ\)?
Сложение и вычитание углов
Чтобы сложить углы, складывают их градусные меры. Чтобы найти неизвестную часть, из меры целого угла вычитают известную часть. Если в записи есть градусы и минуты, сначала удобно привести величины к одной единице или выполнить заимствование: \(1^\circ=60'\).
При сложении минут результат больше или равен \(60'\), лишние \(60'\) превращают в \(1^\circ\). При вычитании, если минут в уменьшаемом меньше, чем в вычитаемом, занимают \(1^\circ=60'\).
Если луч делит угол на два угла, то мера исходного угла равна сумме мер частей. Поэтому неизвестную часть находят вычитанием: \(m(\angle 2)=m(\angle 1)-m(\angle 3)\).
Важные случаи
Для решения задач полезно узнавать углы, связанные общей вершиной или общей стороной. Смежные углы имеют общую вершину и одну общую сторону, а две другие стороны являются противоположными лучами. Их сумма всегда равна \(180^\circ\).
Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Они лежат друг напротив друга и равны.
Если два угла имеют общую вершину и их стороны образуют прямой угол, то их сумма равна \(90^\circ\). Перпендикулярные прямые образуют четыре прямых угла; подробнее это рассматривается на странице о параллельных и перпендикулярных прямых.
Смежные углы в сумме дают \(180^\circ\), вертикальные углы равны, а части одного угла складываются в целый угол.
Разобранный пример
Луч OB проходит внутри развернутого угла AOC. Известно, что \(\angle AOB=68^\circ\). Найдём \(\angle BOC\) и определим его вид.
\(m(\angle BOC)=112^\circ\). Этот угол тупой.
Такой алгоритм используется в задачах экзамена: сначала нужно определить специальный угол или связь между углами, затем записать равенство и только после этого выполнять вычисления. Если в условии сказано, что углы смежные, сразу используйте сумму \(180^\circ\); если вертикальные — равенство их мер.
1. В обозначении \(\angle ABC\) принимают за вершину первую букву. Правильно: вершина — средняя буква B. 2. При измерении транспортиром считывают не ту шкалу. Начинайте отсчёт от нулевой отметки, совпадающей со стороной угла. 3. Путают тупой и развернутый угол: тупой строго меньше \(180^\circ\), а развернутый ровно \(180^\circ\). 4. Утверждают, что любые два угла с общей стороной смежные. Для смежности другие стороны должны быть противоположными лучами. 5. Складывают минуты как обычные числа и забывают, что \(60'=1^\circ\).
Алгоритм решения задач
- Найдите вершину угла и правильно прочитайте его обозначение.
- Определите вид угла или специальную связь: развернутый, прямой, смежные, вертикальные.
- Запишите известную градусную меру и нужное равенство.
- Выполните сложение или вычитание, учитывая переход между градусами и минутами.
- Проверьте ответ: мера угла должна быть положительной, а вид угла должен соответствовать полученному числу.
Быстрая проверка
Главное
- Угол образован двумя лучами с общей вершиной; в обозначении угла вершина — средняя буква.
- Острый угол меньше \(90^\circ\), прямой равен \(90^\circ\), тупой находится между \(90^\circ\) и \(180^\circ\), развернутый равен \(180^\circ\).
- Полный оборот равен \(360^\circ\), а \(1^\circ=60'\) и \(1'=60''\).
- Мера угла, разделённого лучом, равна сумме мер частей.
- Смежные углы в сумме дают \(180^\circ\), вертикальные углы равны.