Теорема синусов
Теорема синусов связывает длины сторон треугольника с синусами противолежащих углов. Она также позволяет выразить каждую сторону через радиус описанной окружности.
Для понимания обозначений полезно вспомнить описанную окружность треугольника. Сторона \(a\) лежит напротив угла \(A\), сторона \(b\) — напротив угла \(B\), а сторона \(c\) — напротив угла \(C\).
Формула
Здесь \(R\) — радиус описанной окружности. Из формулы можно получить, например, \(a=2R\sin A\) или \(R=\frac{a}{2\sin A}\). Теорема особенно удобна, когда известны сторона и противолежащий ей угол, а также ещё один угол или сторона.
Пусть \(a=6\), \(A=30^\circ\), \(B=45^\circ\). Найдём сторону \(b\). Приравняем отношения для сторон \(a\) и \(b\): \(\frac{6}{\sin 30^\circ}=\frac{b}{\sin 45^\circ}\). Поэтому \(b=\frac{6\sin45^\circ}{\sin30^\circ}=6\sqrt2\). Ответ: \(b=6\sqrt2\).
В теореме синусов сторона сопоставляется именно с противолежащим углом, а не с углом, который находится рядом со стороной. Для соседнего правила — теоремы косинусов — соответствие устроено иначе: там угол заключён между двумя сторонами.
В треугольнике \(A=30^\circ\), \(B=60^\circ\), \(a=4\). Чему равна сторона \(b\)?
Главное
- Отношения \(\frac{a}{\sin A}\), \(\frac{b}{\sin B}\) и \(\frac{c}{\sin C}\) равны.
- Общее значение этих отношений — \(2R\), где \(R\) — радиус описанной окружности.
- Каждую сторону сопоставляют с синусом противолежащего угла.