Описанная окружность треугольника
Описанная окружность треугольника проходит через все три его вершины. В этом конспекте разберём, где находится её центр, как находить радиус и какие формулы удобны для прямоугольного, равнобедренного и равностороннего треугольников.
Определение и центр описанной окружности
Окружность называют описанной около треугольника \(ABC\), если она проходит через вершины \(A\), \(B\) и \(C\). Сам треугольник при этом находится внутри окружности, а его стороны являются хордами.
Описанная окружность треугольника — окружность, проходящая через все три вершины этого треугольника. Её центр обозначают обычно буквой \(O\), а радиус — буквой \(R\).
Центр \(O\) описанной окружности равноудалён от всех вершин: \(OA=OB=OC=R\). Поэтому он лежит на серединном перпендикуляре к каждой стороне треугольника. Достаточно построить серединные перпендикуляры к двум сторонам: точка их пересечения и будет центром окружности.
В остроугольном треугольнике центр описанной окружности находится внутри треугольника. В прямоугольном треугольнике он является серединой гипотенузы. В тупоугольном треугольнике центр находится вне треугольника.
Это различие важно при построении чертежа, но формулы радиуса остаются теми же. Для прямоугольного треугольника действует особенно простой результат.
Основные формулы радиуса
Если стороны треугольника равны \(a\), \(b\), \(c\), а противолежащие им углы — \(A\), \(B\), \(C\), то радиус можно выразить через сторону и противолежащий угол. Эта связь является одной из форм теоремы синусов.
Если известны все три стороны и площадь \(S\), удобно применять формулу, связанную с площадью треугольника.
Запомните три частных случая: для прямоугольного треугольника \(R=\frac{c}{2}\), для равностороннего со стороной \(a\) — \(R=\frac{a}{\sqrt{3}}\), а для равнобедренного треугольника радиус часто находят через высоту и основание.
Прямоугольный треугольник
Пусть \(ABC\) — прямоугольный треугольник с прямым углом \(C\), а \(AB=c\) — гипотенуза. Центр описанной окружности находится в середине гипотенузы, поэтому диаметр окружности равен \(c\).
Это следствие свойства центрального угла и угла, опирающегося на диаметр: угол, опирающийся на диаметр, прямой. На практике достаточно увидеть прямой угол и найти гипотенузу.
Равносторонний треугольник
В равностороннем треугольнике все высоты, медианы и биссектрисы совпадают. Центр описанной окружности лежит на каждой из них. Высота равна \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\), а центр делит её в отношении \(2:1\), считая от вершины. Поэтому расстояние от центра до вершины равно двум третям высоты.
Для сравнения, радиус вписанной окружности треугольника в равностороннем треугольнике равен \(r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\), то есть \(R=2r\).
Равнобедренный треугольник
Пусть боковые стороны равны \(b\), основание равно \(a\), а высота к основанию равна \(h\). Высота одновременно является медианой и серединным перпендикуляром к основанию, поэтому центр окружности лежит на этой высоте.
Первая форма получается из прямоугольного треугольника, образованного половиной основания, высотой и радиусами. Вторая использует равенство \(b^2=h^2+\frac{a^2}{4}\).
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна \(14\). Чему равен радиус описанной окружности?
Как решать задачи
Перед вычислениями определите, какой вид треугольника дан и какие величины известны. Если есть прямой угол, ищите гипотенузу. Если дана сторона и противолежащий угол, применяйте формулу \(R=\frac{a}{2\sin A}\). Если известны стороны и площадь, используйте \(R=\frac{abc}{4S}\).
1. Сделайте чертёж и отметьте прямой угол или равные стороны. 2. Найдите подходящую формулу. 3. Проверьте, что угол стоит напротив нужной стороны. 4. Сократите выражение и укажите единицы длины.
В треугольнике \(ABC\) сторона \(AB=10\), угол \(C=30^\circ\), а площадь равна \(20\). Найдём радиус описанной окружности двумя способами.
В задачах экзамена не всегда нужно использовать все данные. Если радиус сразу находится по стороне и противолежащему углу, дополнительные сведения могут быть проверкой или отвлекающим условием.
Связь с углами и хордами
Стороны треугольника — хорды описанной окружности. Чем больше центральный угол, опирающийся на хорду, тем больше эта хорда. Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, вдвое меньше центрального. Подробные свойства вписанного угла помогают восстанавливать углы треугольника по дугам и хордам.
Если одна из сторон является диаметром, то противоположный угол прямой. Это часто позволяет мгновенно распознать прямоугольный треугольник и применить формулу \(R=\frac{c}{2}\). Не путайте описанную окружность с окружностью, вписанной в треугольник: первая проходит через вершины, а вторая касается сторон.
• Берут сторону, которая не лежит напротив указанного угла, в формуле \(R=\frac{a}{2\sin A}\).<br>• Для прямоугольного треугольника используют катет вместо гипотенузы.<br>• Путают радиус описанной окружности с радиусом вписанной окружности.<br>• Считают, что центр всегда находится внутри треугольника: это неверно для тупоугольного треугольника.<br>• Забывают, что в формуле \(R=\frac{abc}{4S}\) площадь \(S\) должна быть площадью всего треугольника.
Проверь себя
Главное
- Описанная окружность проходит через все вершины треугольника, а её центр равноудалён от них.
- Центр находят как пересечение серединных перпендикуляров к сторонам.
- Основные формулы: \(R=\frac{a}{2\sin A}\) и \(R=\frac{abc}{4S}\).
- Для прямоугольного треугольника \(R=\frac{c}{2}\), для равностороннего — \(R=\frac{a}{\sqrt3}\).
- При решении сначала определите вид треугольника и сопоставьте сторону с противолежащим углом.