Свойства описанной окружности
Описанная окружность — окружность, проходящая через все вершины данной фигуры. Фигура, вершины которой лежат на одной окружности, называется вписанной в эту окружность.
Точка, равноудалённая от двух вершин, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему эти вершины. Поэтому центр описанной окружности находится на серединных перпендикулярах к сторонам фигуры. Для треугольника эти перпендикуляры пересекаются в одной точке — центре описанной окружности треугольника.
Если многоугольник вписан в окружность, то все его вершины равноудалены от центра: \(OA=OB=OC=R\). Вписанный угол опирается на ту же дугу, что и центральный угол, поэтому его величина равна половине центрального угла. В частности, вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
Для четырёхугольника важный признак существования описанной окружности таков: около него можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны \(180^\circ\). Такой четырёхугольник называют вписанным. Для прямоугольника описанная окружность существует всегда: её центр — точка пересечения диагоналей, а радиус равен половине диагонали. Подробнее радиус рассматривается на странице радиус описанной окружности.
У прямоугольника со сторонами \(6\) и \(8\) диагональ равна \(\sqrt{6^2+8^2}=10\). Значит, центр описанной окружности — середина диагонали, а её радиус равен \(R=10:2=5\).
Описанная окружность проходит через вершины фигуры. Вписанная окружность касается её сторон изнутри и обычно не проходит через вершины. Кроме того, описанная окружность существует не для любого многоугольника.
Где находится центр описанной окружности прямоугольника?
Главное
- Описанная окружность проходит через все вершины фигуры, а её центр равноудалён от них.
- Центр находят как точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам; расстояние до вершины — радиус.
- Не следует путать описанную окружность с вписанной: первая проходит через вершины, вторая касается сторон.